分式的极限

分式的极限是最常见的极限，也是大多数情况下化简的方针。

如

lim⁡x→0sinxx=1\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1

这也是教材上的根本极限之一。

关于分式的极限，化简的每一步一般依照下列流程进行。

1. 确认极限类型

将极限的取值代入极限表达式中，会得到三种情形，未定式 $∞/∞\infty/\infty$ ，未定式 $0/0$ 以及定式（即不是前两种情形）。

关于定式的极限，咱们能够直接得到答案。

若分子为0，分母不为0，极限的值是0.

若分子不为0，分子为0，极限不存在。 $+∞+\infty$ 或 $−∞-\infty$ ，取决于取极限的方向

若分子为非0的a，分母为非0的b, 极限为 $a / b$ 。

lim⁡x→1xx+1=12\lim_{x \to 1} \frac{x}{x+1} = \frac{1}{2}

关于定型的极限，直接代入就能得到答案。不需求接下来的过程。

2. 非0因子

观察极限分子或分母的因子，代入极限的趋向后，是一个非0的数字，则经过代入化简。

lim⁡x→0sin⁡xcos⁡xx=lim⁡x→01⋅sinxx=1\lim_{x \to 0}\frac{\sin x \cos x}{x} = \lim_{x\to 0}{\frac{1\cdot sin x}{x}} = 1

3. 等价无穷小

咱们能够用等价无穷小替换分子或者分母的某个因子，以达到简化计算的意图，也为后面可能运用洛必达规律铺路

三角函数型

\to 0时\\ x \sim \sin x \sim tan x \sim arcsin x \sim arctanx \\ 1- cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \\ x \to 0^+时 \\ 1 – \sqrt{cosx} \sim \frac{1}{2}x

指数对数型

\to 0\\ ln(1+x) \sim x\\ e^x – 1 \sim x\\ a^x – 1 \sim xlna\\ (1 + x)^\alpha – 1 \sim \alpha x \\ 下面两个是由上面 推导而来的\\ 1 – \sqrt[n]{1-x} \sim \frac{x}{n}\\ \sqrt{a^n+x}-a \sim \frac{1}{na^{n-1}}

4. 泰勒打开

泰勒打开在大部分时候都能很好地应对分子分母中存在多项加减的情况。除此之外，泰勒打开还能经过组合，发生新的等价无穷小公式。因此关于分式的极限，泰勒比起洛必达优先级更高，大多数标题甚至能作为首选
罗列几个常见的函数在 $x = 0$ 处的泰勒打开，在0处的打开也被称为麦克劳林打开。

关于 $∞/∞\infty/\infty$ 的极限，泰勒打开的运用相对较少

\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ 对sin x求导咱们就能得到cosx\\ cos x = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots === \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^3)\\ \\arc的版别，第二项和不带arc的版别第二项正负取反\\ arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3\\ arctan x = x – \frac{1}{3}x^3 + O(x^3)\\ \\对数函数没有阶乘，正负交错\\ ln(1+x) = x – \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{4}x^4 + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n \\ e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \dots = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}x^n\\ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha – 1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha – 1)(\alpha – 2)}{3!}x^3 + \dots \\= \sum_{n = 0}^\infty\frac{\alpha(\alpha – 1)\dots(\alpha – n + 1)}{n!}x^n

打开到几回幂？

关于 $0/0$ 型，分母打开到不能两两抵消，分子打开到分母最低次幂。

比方求下面的极限， $s in x$ 打开到三阶， $e^x$ 打开到二阶

lim⁡x→0x2sinx+ex−1−2x=lim⁡x→0x2x−1/6×3+1+x+1/2×2−1−2x=lim⁡x→0x21/6×3+1/2x2x2趋近于0的速度比x3更快，所以有1/6×3+1/2×2∼1/2×2=lim⁡x→0x21/2×2=2\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{sin x + e^x – 1 – 2x}\\ = \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x – 1/6x^3 + 1 + x + 1/2x^2 – 1 – 2x}\\ = \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1/6x^3 + 1/2x^2}\\ x^2趋近于0的速度比x^3更快，所以有1/6x^3 + 1/2x^2 \sim 1/2x^2\\ = \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1/2x^2} = 2

下面的极限，分母为三阶，分子也需求打开到三阶

lim⁡x→0tanx−sinxx3=lim⁡x→0x+1/3×3−(x−1/6×3)x3=lim⁡x→01/3×3+1/6x3x3=12\lim_{x\to 0}\frac{tan x – sin x}{x^3}\\ = \lim_{x \to 0}\frac{x + 1/3x^3 – (x – 1/6x^3)}{x^3} \\ = \lim_{x \to 0}\frac{1/3x^3 + 1/6x^3}{x^3} = \frac{1}{2}

5. 洛必达规律

关于极限，在没有其它办法能够化简的情况下，能够运用洛必达规律化简。在 $∞/∞\infty/\infty$ 极限中运用较多。规律十分简单，对分子分母 $一起$ 求导，用数学的表达式表示就是 $lim⁡x→cf(x)g(x)=lim⁡x→cf′(x)g′(x)\lim_{x\to c}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$

lim⁡x→0ln2xlnx这个极限咱们无法用上面的4条办法化简=lim⁡x→022x1x=1\lim_{x \to 0}\frac{ln2x}{ln{x}} \\ 这个极限咱们无法用上面的4条办法化简\\ = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{2}{2x}}{\frac{1}{x}}\\ = 1

指数函数求极限

指数型极限分为 $0∞0^\infty$ ， $1∞1^\infty$ ， $∞0\infty^0$ 三种类型

关于 $lim⁡x→cf(x)g(x)\lim_{x \to c}f(x)^{g(x)}$ ，咱们对表达式进行变形，得到 $lim⁡x→ceg(x)lnf(x)\lim_{x \to c}e^{g(x)lnf(x)}$ ，所求极限为 $elim⁡x→cg(x)lnf(x)e^{\lim_{x \to c}g(x)lnf(x)}$ ，令 $\lim_{x \to c}g(x)lnf(x)$ 显然，问题被咱们转化为了求A的值。

$1∞1^{\infty}$ 型极限的快速求法

关于 $1∞1^{\infty}$ 的特殊类型，经过运用 $\sim x$ ，咱们能够快速化简A。

A = g (x) (f (x) - 1)

比方这样

lim⁡x→∞(1+xx)2x=eAA=lim⁡x→∞2x⋅(1+xx−1)=2eA=e2\lim_{x \to \infty}({\frac{1 + x}{x}})^{2x} = e^A\\ A = \lim_{x \to \infty} 2x \cdot (\frac{1+x}{x} – 1) = 2 \\ e^A = e^2

其它常见未定式的转化

$0⋅∞0\cdot \infty$ ，取 $0$ 的倒数，转化为 $∞/∞\infty / \infty$ 或取 $∞\infty$ 的倒数，转化为 $0/0$

$∞−∞\infty – \infty$ ，如果 $∞\infty$ 能够通分，则通分。

如果不能通分，上下同除 $f (x) g (x)$ 转化为 $0/0$

lim⁡x→c(f(x)−g(x))=lim⁡x→c1/g(x)−1/f(x)1/(f(x)g(x))\lim_{x \to c} (f(x) – g(x)) = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x) – 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}

或者用指数函数转化为 $∞/∞\infty / \infty$

lim⁡x→c(f(x)−g(x))=ln⁡lim⁡x→cef(x)eg(x)\lim_{x \to c} (f(x) – g(x)) = \ln \lim_{x \to c} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}

一些求极限的技巧

$ef(x)−eg(x)x\to 0\;e^{f(x)} – e^{g(x)}$

ef(x)−eg(x)∼eg(x)(ef(x)−g(x)−1)∼eg(x)(f(x)−g(x))e^{f(x)} – e^{g(x)} \sim e^{g(x)}(e^{f(x) – g(x)}-1) \sim e^{g(x)}(f(x) – g(x))

分子分母有理化制造非0因子

lim⁡x→01+x−1−xx=lim⁡x→0(1+x−1−x)(1+x+1−x)x(1+x+1−x)分母的1+x+1−x是非0因子等于2=lim⁡x→02x2x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} – \sqrt{1 – x}}{x}\\ = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + x} – \sqrt{1 – x})(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x})}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x})}\\ 分母的\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x} 是非0因子等于2 \\ = \lim_{x \to 0}\frac{2x}{2x} = 1

ln中隐含的等价无穷小

ln因子中ln的参数全体趋向于1运用等价无穷小会比用洛必达更快

lim⁡x→0lncosxx2=lim⁡x→0cosx−1×2=lim⁡x→0−1/2x2x2=−12\lim_{x \to 0}\frac{lncosx}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{cosx – 1}{x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{-1/2 x^2}{x^2} = -\frac{1}{2}

$sin(∞)sin(\infty)$ $cos(∞)cos(\infty)$ 使用周期性结构 $∞−∞\infty – \infty$

在 $s in$ $cos$ 内 $−n-n\pi$ , $−n+n-n\pi + n\pi$ , $+2n+2n\pi$ 等操作

lim⁡n→∞sin2(n2+n)sin内−n，由于外面是平方，所以不需求考虑−n后的正负性=lim⁡n→∞sin2(n2+n−n)=lim⁡sin2[(n2+n−n)]又由于lim⁡x→∞(n2+n−n)=lim⁡x→∞(n2+n−n)(n2+n+n)n2+n+n=lim⁡x→∞nn(1+1n2+1)=2原式=sin2=1\lim_{n\to \infty}sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})\\ sin内-n\pi，由于外面是平方，所以不需求考虑-n\pi后的正负性 \\ = \lim_{n\to \infty}sin^2(\pi\sqrt{n^2 + n} – n\pi) \\ = \lim sin^2[\pi(\sqrt{n^2+n}-n)] 又由于\\ \lim_{x\to \infty}(\sqrt{n^2+n}-n) = \lim_{x \to \infty}\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n} = \lim_{x \to \infty}\frac{n}{n(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1)} = 2\\ 原式 = sin\frac{\pi}{2} = 1

$lim⁡x→∞(ax+bax+c)hx+k=e(b−c)ha\lim_{x\to \infty} (\frac{ax+b}{ax+c})^{hx + k} = e^{\frac{(b-c)h}{a}}$

lim⁡x→∞(ax+bax+c)hx+kA=lim⁡x→∞(b−c)(hx+k)ax+c=(b−c)haeA=e(b−c)ha\lim_{x\to \infty} (\frac{ax+b}{ax+c})^{hx + k}\\ A = \lim_{x\to \infty}\frac{(b-c)(hx + k)}{ax + c} = \frac{(b-c)h}{a} \\ e^A = e^{\frac{(b-c)h}{a}}

参考文献

不定式 (数学) – 维基百科
洛必达规律 – 维基百科
怎么背麦克劳林公式？ – 知乎
杨超数学三大计算和139高分系列- 京东图书 (jd.com)

微积分之旅——求极限的各种细节

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$sin(∞)sin(\infty)$ $cos(∞)cos(\infty)$ 使用周期性结构 $∞−∞\infty – \infty$

$lim⁡x→∞(ax+bax+c)hx+k=e(b−c)ha\lim_{x\to \infty} (\frac{ax+b}{ax+c})^{hx + k} = e^{\frac{(b-c)h}{a}}$

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x→0 ef(x)−eg(x)x\to 0\;e^{f(x)} – e^{g(x)}x→0ef(x)−eg(x)

分子分母有理化制造非0因子

ln中隐含的等价无穷小

sin(∞)sin(\infty)sin(∞) cos(∞)cos(\infty)cos(∞)使用周期性结构∞−∞\infty – \infty∞−∞

lim⁡x→∞(ax+bax+c)hx+k=e(b−c)ha\lim_{x\to \infty} (\frac{ax+b}{ax+c})^{hx + k} = e^{\frac{(b-c)h}{a}}limx→∞​(ax+cax+b​)hx+k=ea(b−c)h​

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