上一章发现把一个信号表明为单位冲激的线性组合，在LTI体系的剖析中会很有用。可是单位冲激有个小问题，便是体系对单位冲击的呼应的方式是不确定的，有没有可能相似线性代数找特征向量那样，找到一组基信号，使得体系呼应之后还是基信号的方式，仅仅系数变了呢？答案是有，那便是利用谐波作为基，不过谐波是在周期信号的语境下才有的，所以本章考虑周期信号的复指数信号基表明。

接连状况

LTI对复指数的呼应还是复指数，所以可作为基信号

这个很简单，比方一个复指数信号x(t)=Aeitx(t)=Ae^{i\omega t}，那么设LTI对单位冲激的呼应为h(t)h(t)，那么LTI的输出能够表明为y(t)=∫−∞∞x(t−)h()d=∫−∞∞Aeite−ih()d=Aeit∫−∞∞e−ih()d=H()Aeity(t)=\int_{-\infty}^\infty x(t-\tau)h(\tau)d\tau=\int_{-\infty}^\infty Ae^{i\omega t}e^{-i\omega\tau} h(\tau)d\tau =Ae^{i\omega t} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\omega\tau}h(\tau)d\tau=H(\omega)Ae^{i\omega t}，阐明周期复指数信号在LTI的输出还是周期复指数信号，仅仅系数变了。

离散状况彻底一样y[n]=∑k=−∞∞Azn−k[k]=Azn∑k=∞∞z−k[k]=H()Azny[n] = \sum_{k=-\infty}^\infty A z^{n-k}\delta[k]=Az^n\sum_{k=\infty}^\infty z^{-k}\delta[k]=H(\alpha)Az^{n}

remark: 这儿假设了积分和求和是收敛的。

上面的成果启发咱们，假如能够把一个信号表明为一系列复指数信号的和，那么经过LTI能够别离求出对每一个复指数信号的呼应（很简单根据LTI对单位脉冲的呼应计算出对复指数信号基的呼应），然后求和。接下来的问题在于，怎么把一个周期信号表明成一组复指数信号。

怎么用复指数表明一个信号

对于方式比较简单的信号，也许能够利用欧拉关系变成eite^{i\omega t}的方式，那相当于直接表明了。对于更一般状况，假如信号的基波频率和基波周期是,T\omega, T，那么傅里叶级数的表明是运用这个基波的谐波求和来表明这个信号，即

x(t)=∑k=−∞∞akej0ktx(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j\omega_0kt}

能不能写成这个方式是下一章评论的内容，假设能写成这个方式，那么系数怎么确定呢？这儿的思路如下: 两边同乘e−j0nte^{-j\omega_0 nt}，在基波周期内积分。

∫Te−j0ntx(t)dt=∫Te−j0nt∑k=−∞∞akej0ktdt=ak∑k=−∞∞∫Tej0(k−n)tdt=ak∑k=−∞∞∫Tcos⁡(0(k−n)t)+jsin⁡(0(k−n)t)dt\int_{T} e^{-j\omega_0 nt} x(t) dt = \int_{T} e^{-j\omega_0 nt} \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j\omega_0kt} dt \\ =a_k \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{T}e^{j\omega_0(k-n)t}dt \\ = a_k \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{T}\cos(\omega_0 (k-n)t) + j\sin(\omega_0(k-n)t) dt

当k = n时，等号右边的积分是TT，不等于n的时分，频率是基波频率的整倍数，而三角函数一个周期的积分是0，所以整倍数积分也是0，因而系数求解的重要公式就得到了。

an=1T∫Te−j0ntx(t)dta_n = \frac{1}{T}\int_T e^{-j\omega_0 nt} x(t) dt

这个公式合作前面x(t)=∑k=−∞∞akej0ktx(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j\omega_0kt}便是傅立叶改换了。

这个表明的可行性

界说差错

首先要界说傅立叶改换和原始信号之间的差错，很自然想到均方差错，由所以周期信号只需求考虑一个周期内部，因而界说：
e(N)=∫T∣x(t)−∑k=−NNakej0t∣2dte(N) = \int_T |x(t) – \sum_{k=-N}^N a_k e^{j\omega_0 t}|^2 dt

这也是能量的界说，其实衡量两个散布咱们可能也会想到用KL散度等其他度量，可是这儿运用能量是更具有实际含义的，由于物理国际的信号处理体系通常都是根据能量处理。

系数合理的条件

为了确保傅立叶改换的可行性，首先需求确保系数是合理的值，这要求积分∫Te−j0ntx(t)dt\int_T e^{-j\omega_0 nt} x(t) dt收敛，这个很简单确保。只需∫T∣x(t)∣2dt\int_T |x(t)|^2 dt收敛即可。

从实用性的视点，这个条件是很简单满意而且很好验证的，只需输入信号在一个周期内能量有限即可。严厉的数学证明能够确保，N趋于无穷的时分满意这个条件的信号e(N)e(N)趋于0，阐明从能量的视点这个表明是有含义的。（留意并不是说一切的点取值都持平，而是说一个周期内能量持平）

更严厉的条件

狄利克雷发现了更严厉的条件，满意这个条件的信号，其傅立叶级数确保在接连点上值等于原始信号，而不接连的点值等于两边极限的平均值。这个条件有三个：1）周期内必定可积（∫T∣x(t)∣dt<∞\int_T |x(t)|dt<\infty），2）周期内最大值和最小值数量有限（不会无限震动），3）有限区间内的不接连点有限且值有限。

这三个条件实际中的信号也简直都满意，因而傅立叶改换在大都状况下不仅能够确保能量持平，在接连部分取值也是持平的。这就非常强了。

吉布斯现象：在收敛的过程中，不接连点处会呈现高频崎岖和超量，峰值巨细保持不变。一个例子便是理想低通滤波器，它对于一切\omega并不是一致收敛的，而且在c\omega_c处震动崎岖。

傅立叶改换的性质

  • 线性：假如x(t)x(t)和y(t)y(t)的傅立叶系数别离为ak,bka_k,b_k，周期相同，那么Ax(t)+By(t)Ax(t)+By(t)的系数为Aak+BbkAa_k+Bb_k
  • 时移性质：x(t)x(t)傅立叶系数为aka_k，那么x(t−t0)x(t-t_0)的系数为e−j0kt0ake^{-j\omega_0 k t_0}a_k，模不变。往右平移后，本来t时间的值变成了之前的值，所以相位要往回拨
  • 时间反转：x(−t)FS:a−kx(-t) FS: a_{-k}
  • 频率弹性：系数不变，可是那一组复信号基变了
  • 相乘：x(t)y(t)FS:hk=∑l=−∞∞albk−lx(t)y(t) FS: h_k = \sum_{l=-\infty}^\infty a_l b_{k-l}
  • 取共轭：x∗(t)FS:bk=a−k∗x^*(t) FS: b_k = a^*_{-k}
  • 奇偶性：实偶信号ak=a−ka_k=a_{-k}且为实，实奇信号ak=−a−ka_k = -a_{-k}且纯虚
  • 帕斯瓦尔定理：1T∫T∣x(t)∣2dt=∑∣ak∣2\frac{1}{T}\int_T |x(t)|^2 dt = \sum |a_k|^2，这个展开成傅立叶求积分很简单证。他的含义是，信号的总平均功率等于一切谐波分量平均功率的和。从傅立叶系数求解的公式能够看到，这个系数自身便是某个谐波的周期平均功率。
  • 导数：dx(t)dtFS:j0kak\frac{dx(t)}{dt} FS: j\omega_0k a_k
  • 积分：∫−∞tx(t)dtFS:1jk0ak\int_{-\infty}^t x(t)dt FS: \frac{1}{jk\omega_0}a_k 需求满意a0=0a_0=0确保周期性和有限，使傅立叶改换有含义。
  • 周期卷积：∫Tx()y(t−)dFS:ck=Takbk\int_T x(\tau)y(t-\tau)d\tau FS:c_k = Ta_kb_k

利用上述性质求解傅立叶系数

比方先求方波信号，在利用时移改换、求导得到其他方波和三角波周期信号

离散

傅立叶改换

在第一章就发现，离散信号要想有周期，他的频率应该是\pi的有理数倍，而且他的谐波是有限的，这是由于超过N就会和之前某一个刚好差22\pi，因而对于基波周期为N的信号，他的一组谐波为k[n]=ej0kn=ej(2/N)kn\phi_k[n] = e^{j\omega_0kn}=e^{j(2\pi/N)kn}，这儿k取0, …, N-1。

那么，假如x[n]=∑k=0N−1akk[n]x[n] = \sum_{k=0}^{N-1}a_k\phi_k[n]，其实能够经过取x[0],…,x[N−1]x[0], …, x[N-1]联立方程组求解。假如延续和接连时间信号一致的思路，那应该考虑对这个等式左右两边乘e−j0rne^{-j\omega_0rn}，再在一个周期内求和。所以

∑n=0N−1x[n]e−j0rn=ak∑n=0N−1∑k=0N−1ej0(k−r)n=∑k=0N−1ak∑n=0N−1ej0(k−r)n\sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\omega_0rn} = a_k \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{k=0}^{N-1} e^{j\omega_0(k-r)n} \\ = \sum_{k=0}^{N-1} a_k \sum_{n=0}^{N-1} e^{j\omega_0(k-r)n}

对右侧，假如r=kr=k，那么很明显右侧便是NakNa_k，而对r≠kr\ne k，∑n=0N−1ej0(k−r)n=0\sum_{n=0}^{N-1} e^{j\omega_0(k-r)n} = 0。
所以能够得到离散傅立叶改换方式

x[n]=∑k=0N−1akk[n]ak=1N∑n=0N−1x[n]e−j0knx[n] = \sum_{k=0}^{N-1} a_k \phi_k[n] \\ a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\omega_0kn}

这就很好了，由于aka_k有限，所以不存在差错，只需能求出来必定便是准的。不需求评论收敛问题。

性质

大都和接连的一样

  • 线性：假如x[n]x[n]和y[n]y[n]的傅立叶系数别离为ak,bka_k,b_k，周期相同，那么Ax[n]+By[n]Ax[n]+By[n]的系数为Aak+BbkAa_k+Bb_k
  • 时移性质：x[n]x[n]傅立叶系数为aka_k，那么x[n−n0]x[n-n_0]的系数为e−j0kn0ake^{-j\omega_0 k n_0}a_k，模不变。
  • 频移：x[n]x[n]变为ejM0nx[n]e^{jM\omega_0 n}x[n], aka_k变为ak−Ma_{k-M}
  • 时间反转：x[−n]FS:a−kx[-n] FS: a_{-k}
  • 频率弹性：x(m)[n]x_{(m)}[n]，相当于x[n/m]x[n/m]，假如不整除则取值为0。此时bk=ak/mb_k=a_{k}/m
  • 相乘：x[t]y[t]FS:hk=∑l=0N−1albk−lx[t]y[t] FS: h_k = \sum_{l=0}^{N-1} a_l b_{k-l}
  • 取共轭：x∗[n]FS:bk=a−k∗x^*[n] FS: b_k = a^*_{-k}
  • 奇偶性：实偶信号ak=a−ka_k=a_{-k}且为实，实奇信号ak=−a−ka_k = -a_{-k}且纯虚
  • 帕斯瓦尔定理：1N∑r=0N−1∣x[r]∣2=∑k=0N−1∣ak∣2\frac{1}{N}\sum_{r=0}^{N-1} |x[r]|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} |a_k|^2，留意系数求和仅仅一个周期内部
  • 一阶差分：x[n]−x[n−1]FS:(1−e−jk0)akx[n] – x[n-1] FS: (1-e^{-jk\omega_0})a_k
  • 求和：∑r=−∞nx[r]FS:11−e−jk0ak\sum_{r=-\infty}^n x[r] FS: \frac{1}{1 – e^{-jk\omega_0}}a_k 需求满意a0=0a_0=0确保周期性和有限，使傅立叶改换有含义。
  • 周期卷积：z[n]=∑r=0N−1x[r]y[n−r]FS:ck=Nakbkz[n] = \sum_{r=0}^{N-1} x[r]y[n-r] FS:c_k = Na_kb_k

LTI下的傅立叶级数呼应

  • 接连：H(s)=∫−∞∞h()e−sdH(s)=\int_{-\infty}^\infty h(\tau)e^{-s\tau}d\tau
  • 离散：H(z)=∑k=−∞∞h[k]z−kH(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty h[k]z^{-k}