深度学习基础-损失函数详解-六虎

本文总结分类和回归使命的常用丢失函数，比如要点解析了穿插熵丢失函数的由来，并给出具体核算公式和、案例分析、代码，一同也描述了 MAE 和 MSE 丢失函数，给出了具体的核算公式、曲线图及优缺点。

一，丢失函数概述

大多数深度学习算法都会触及某种方式的优化，所谓优化指的是改动 $x$ 以最小化或最大化某个函数 $f (x)$ 的使命，咱们一般以最小化 $f (x)$ 指代大多数最优化问题。

在机器学习中，丢失函数是价值函数的一部分，而价值函数是方针函数的一种类型。

丢失函数（loss function）: 用于界说单个练习样本猜测值与实在值之间的差错
价值函数（cost function）: 用于界说单个批次/整个练习集样本猜测值与实在值之间的累计差错。
方针函数（objective function）: 泛指任意能够被优化的函数。

丢失函数界说：丢失函数是深度学习模型练习进程中关键的一个组成部分，其经过前言的内容，咱们知道深度学习算法优化的第一步首先是确定方针函数方式。

丢失函数大致可分为两种：回归丢失（针对接连型变量）和分类丢失（针对离散型变量）。

常用的减少丢失函数的优化算法是“梯度下降法”（Gradient Descent）。

二，穿插熵函数-分类丢失

穿插熵丢失(Cross-Entropy Loss) 又称为对数似然丢失(Log-likelihood Loss)、对数丢失，二分类时还可称之为逻辑斯谛回归丢失(Logistic Loss)。

2.1，穿插熵（Cross-Entropy）的由来

穿插熵丢失的由来参阅文档 AI-EDU: 穿插熵丢失函数。

1，信息量

信息论中，信息量的表明方式：

《深度学习》（花书）中称为自信息(self-information) 。在本文中，咱们总是用 $log\text{log}$ 来表明自然对数，其底数为 $e$ 。

I(x_j) = -\log (p(x_j))

$x_j$ ：表明一个事情
$p(x_j)$ ：表明事情 $x_j$ 产生的概率
$I(x_j)$ ：信息量， $x_j$ 越不或许产生时，它一旦产生后的信息量就越大

2，熵

信息量只处理单个的输出。咱们能够用熵（也称香农熵 Shannon entropy）来对整个概率散布中的不确定性总量进行量化:

\sum_j^n p(x_j) \log (p(x_j))

则上面的问题的熵是：

H(p)=−[p(x1)ln⁡p(x1)+p(x2)ln⁡p(x2)+p(x3)ln⁡p(x3)]=0.70.36+0.21.61+0.12.30=0.804\begin{aligned} H(p)&=-[p(x_1) \ln p(x_1) + p(x_2) \ln p(x_2) + p(x_3) \ln p(x_3)] \\\ &=0.7 \times 0.36 + 0.2 \times 1.61 + 0.1 \times 2.30 \\\ &=0.804 \end{aligned}

3，相对熵(KL散度)

相对熵又称 KL 散度，假如关于同一个随机变量 $x$ 有两个单独的概率散布 $P (x)$ 和 $Q (x)$ ，则能够运用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个散布的差异，这个相当于信息论领域的均方差。

KL散度的核算公式：

DKL(p∣∣q)=∑j=1mp(xj)log⁡p(xj)q(xj)D_{KL}(p||q)=\sum_{j=1}^m p(x_j) \log {p(x_j) \over q(x_j)}

$m$ 为事情的所有或许性（分类使命中对应类别数目）。 $D$ 的值越小，表明 $q$ 散布和 $p$ 散布越挨近。

4，穿插熵

把上述穿插熵公式变形：

DKL(p∣∣q)=∑j=1mp(xj)log⁡p(xj)−∑j=1mp(xj)log⁡q(xj)=−H(p(x))+H(p,q)\begin{aligned} D_{KL}(p||q)&=\sum_{j=1}^m p(x_j) \log {p(x_j)} – \sum_{j=1}^m p(x_j) \log q(x_j) \\\ &=- H(p(x)) + H(p,q) \end{aligned}

等式的前一部分恰巧便是 $p$ 的熵，等式的后一部分，便是穿插熵（机器学习中 $p$ 表明实在散布（方针散布）， $q$ 表明猜测散布）:

\sum_{j=1}^m p(x_j) \log q(x_j)

在机器学习中，咱们需求评价标签值 $y$ 和猜测值 $a$ 之间的间隔熵（即两个概率散布之间的相似性），运用 KL 散度 $D_{KL}(y||a)$ 即可，但因为样本标签值的散布一般是固定的，即 $H (a)$ 不变。因而，为了核算方便，在优化进程中，只需求关注穿插熵就能够了。所以，在机器学习中一般直接用穿插熵做丢失函数来评价模型。

\sum_{j = 1}^{m}y_{j}\text{log}(a_{j})

上式是单个样本的状况， $m$ 并不是样本个数，而是分类个数。所以，关于批量样本的穿插熵丢失核算公式（很重要!）是：

-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{m} y_{ij} \log a_{ij}

其中， $n$ 是样本数， $m$ 是分类数。

公式参阅文章-AI-EDU: 穿插熵丢失函数，可是将样本数改为 $n$ ，类别数改为 $m$ 。

有一类特殊问题，便是事情只要两种状况产生的或许，比如“是狗”和“不是狗”，称为 $0/1$ 分类或二分类。关于这类问题，因为 $m=2，y_1=1-y_2，a_1=1-a_2$ ，所以二分类问题的单个样本的穿插熵能够简化为：

\log a + (1-y) \log (1-a)]

二分类关于批量样本的穿插熵核算公式是：

-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n [y_i \log a_i + (1-y_i) \log (1-a_i)]

为什么穿插熵的价值函数是求均值而不是求和? Cross entropy loss is defined as the “expectation” of the probability distribution of a random variable , and that’s why we use mean instead of sum. 参见这里。

2.1.1，熵、相对熵以及穿插熵总结

穿插熵 $H (p, q)$ 也记作 $CE (p, q)$ 、 $H (P, Q)$ ，其另一种表达公式（公式表达方式尽管不一样，可是意义相同）: $-\mathbb{E}_{\textrm{x}\sim p}log(q(x))$

穿插熵函数常用于逻辑回归(logistic regression)，也便是分类(classification)。

依据信息论中熵的性质，将熵、相对熵（KL 散度）以及穿插熵的公式放到一同总结如下:

H(p)=−∑jp(xj)log⁡p(xj)DKL(p∥q)=∑jp(xj)log⁡p(xj)q(xj)=∑j(p(xj)log⁡p(xj)−p(xj)log⁡q(xj))H(p,q)=−∑jp(xj)log⁡q(xj)\begin{aligned} H(p) &= -\sum_{j}p(x_j) \log p(x_j) \\ D_{KL}(p \parallel q) &= \sum_{j}p(x_j)\log \frac{p(x_j)}{q(x_j)} = \sum_j (p(x_j)\log p(x_j) – p(x_j) \log q(x_j)) \\ H(p,q) &= -\sum_j p(x_j)\log q(x_j) \\ \end{aligned}

2.2，二分类问题的穿插熵

把二分类的穿插熵公式 4 分解开两种状况：

当 $y = 1$ 时，即标签值是 $1$ ，是个正例，加号后边的项为: $-\log(a)$
当 $y = 0$ 时，即标签值是 $0$ ，是个反例，加号前面的项为 $0$ : $-\log (1-a)$

横坐标是猜测输出，纵坐标是丢失函数值。 $y = 1$ 意味着当时样本标签值是1，当猜测输出越挨近1时，丢失函数值越小，练习成果越精确。当猜测输出越挨近0时，丢失函数值越大，练习成果越糟糕。此时，丢失函数值如下图所示。

2.3，多分类问题的穿插熵

当标签值不对错0即1的状况时，便是多分类了。

假定希望依据图片动物的概括、颜色等特征，来猜测动物的类别，有三种可猜测类别：猫、狗、猪。假定咱们练习了两个分类模型，其猜测成果如下:

模型1:

猜测值	标签值	是否正确
0.3 0.3 0.4	0 0 1（猪）	正确
0.3 0.4 0.4	0 1 0（狗）	正确
0.1 0.2 0.7	1 0 0（猫）	过错

每行表明不同样本的猜测状况，公共 3 个样本。能够看出，模型 1 关于样本 1 和样本 2 以十分弱小的优势判别正确，关于样本 3 的判别则彻底过错。

模型2:

猜测值	标签值	是否正确
0.1 0.2 0.7	0 0 1（猪）	正确
0.1 0.7 0.2	0 1 0（狗）	正确
0.3 0.4 0.4	1 0 0（猫）	过错

能够看出，模型 2 关于样本 1 和样本 2 判别十分精确（猜测概率值更趋近于 1），关于样本 3 尽管判别过错，可是相对来说没有错得太离谱（猜测概率值远小于 1）。

结合多分类的穿插熵丢失函数公式可得，模型 1 的穿插熵为:

sample1loss=−(0log(0.3)+0log(0.3)+1log(0.4)=0.91sample1loss=−(0log(0.3)+1log(0.4)+0log(0.4)=0.91sample1loss=−(1log(0.1)+0log(0.2)+0log(0.7)=2.30\begin{aligned} \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(0\times log(0.3) + 0\times log(0.3) + 1\times log(0.4) = 0.91 \\ \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(0\times log(0.3) + 1\times log(0.4) + 0\times log(0.4) = 0.91 \\ \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(1\times log(0.1) + 0\times log(0.2) + 0\times log(0.7) = 2.30 \end{aligned}

对所有样本的 loss 求均匀:

\frac{0.91 + 0.91 + 2.3}{3} = 1.37

模型 2 的穿插熵为:

sample1loss=−(0log(0.1)+0log(0.2)+1log(0.7)=0.35sample1loss=−(0log(0.1)+1log(0.7)+0log(0.2)=0.35sample1loss=−(1log(0.3)+0log(0.4)+0log(0.4)=1.20\begin{aligned} \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(0\times log(0.1) + 0\times log(0.2) + 1\times log(0.7) = 0.35 \\ \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(0\times log(0.1) + 1\times log(0.7) + 0\times log(0.2) = 0.35 \\ \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(1\times log(0.3) + 0\times log(0.4) + 0\times log(0.4) = 1.20 \end{aligned}

对所有样本的 loss 求均匀:

\frac{0.35 + 0.35 + 1.2}{3} = 0.63

能够看到，0.63 比 1.37 的丢失值小很多，这说明猜测值越挨近实在标签值，即穿插熵丢失函数能够较好的捕捉到模型 1 和模型 2 猜测效果的差异。穿插熵丢失函数值越小，反向传达的力度越小。

多分类问题核算穿插熵的实例来源于知乎文章-丢失函数｜穿插熵丢失函数。

2.4，PyTorch 中的 Cross Entropy

PyTorch 中常用的穿插熵丢失函数为 torch.nn.CrossEntropyLoss

class torch.nn.CrossEntropyLoss(weight=None, size_average=None,
                                ignore_index=-100, reduce=None, 
                                reduction='elementwise_mean')

1，函数功用:

将输入经过 softmax 激活函数之后，再核算其与 target 的穿插熵丢失。即该办法将 nn.LogSoftmax() 和 nn.NLLLoss()进行了结合。严厉意义上的穿插熵丢失函数应该是 nn.NLLLoss()。

2，参数解释:

weight(Tensor)- 为每个类别的 loss 设置权值，常用于类别不均衡问题。weight 必须是 float 类型的 tensor，其长度要于类别 C 一致，即每一个类别都要设置有 weight。
size_average(bool)- 当 reduce=True 时有用。为 True 时，回来的 loss 为均匀值;为 False 时，回来的各样本的 loss 之和。
reduce(bool)- 回来值是否为标量，默以为 True。
ignore_index(int)- 疏忽某一类别，不核算其 loss，其 loss 会为 0，而且，在采用 size_average 时，不会核算那一类的 loss，除的时分的分母也不会统计那一类的样本。

2.4.1，Softmax 多分类函数

注意: Softmax 用作模型最终一层的函数一般和穿插熵作丢失函数配套搭配运用，应用于多分类使命。

关于二分类问题，咱们运用 Logistic 函数核算样本的概率值，从而把样本分红了正负两类。关于多分类问题，则运用 Softmax 作为模型最终一层的激活函数来将多分类的输出值转换为范围在 [0, 1] 和为 1 的概率散布。

Softmax 从字面上来说，能够分红 soft 和 max 两个部分。max 故名思议便是最大值的意思。Softmax 的核心在于 soft，而 soft 有软的意义，与之相对的是 hard 硬，即 herdmax。下面散布演示将模型输出值取 max 值和引进 Softmax 的比照状况。

取max值（hardmax）

假定模型输出成果 $z$ 值是 $[3, 1, - 3]$ ，假如取 max 操作会变成 $[1, 0, 0]$ ，这符合咱们的分类需求，即三者相加为1，而且以为该样本归于第一类。可是有两个不足：

分类成果是 $[1, 0, 0]$ ，只保留非 0 即 1 的信息，即非黑即白，没有各元素之间相差多少的信息，能够了解是“Hard Max”；
max 操作自身不行导，无法用在反向传达中。

引进Softmax

Softmax 加了个”soft”来模拟 max 的行为，但一同又保留了相对巨细的信息。

aj=Softmax(zj)=ezj∑i=1mezi=ezjez1+ez2+⋯+ezma_j = \text{Softmax}(z_j) = \frac{e^{z_j}}{\sum\limits_{i=1}^m e^{z_i}}=\frac{e^{z_j}}{e^{z_1}+e^{z_2}+\dots+e^{z_m}}

上式中:

$z_j$ 是对第 $j$ 项的分类原始值，即矩阵运算的成果
$z_i$ 是参与分类核算的每个类别的原始值
$m$ 是总分类数
$a_j$ 是对第 $j$ 项的核算成果

和 hardmax 比较，Softmax 的意义就在于不再唯一的确定某一个最大值，而是为每个输出分类的成果都赋予一个概率值（置信度），表明归于每个类别的或许性。

下图能够形象地说明 Softmax 的核算进程。

当输入的数据 $z_1,z_2,z_3]$ 是 $[3, 1, - 3]$ 时，按照图示进程进行核算，能够得出输出的概率散布是 $[0.879, 0.119, 0.002]$ 。比照 max 运算和 Softmax 的不同，如下表所示。

输入原始值	MAX核算	Softmax核算
$[3, 1, - 3]$	$[1, 0, 0]$	$[0.879, 0.119, 0.002]$

能够看出 Softmax 运算成果两个特点：

三个类别的概率相加为 1
每个类别的概率都大于 0

下面我再给出 hardmax 和 softmax 核算的代码实现。

# example of the argmax of a list of numbers
from numpy import argmax
from numpy import exp
# define data
data = [3, 1, -3]
def hardmax(data):
    """# calculate the argmax of the list"""
    result = argmax(data) 
    return result
def softmax(vector):
    """# calculate the softmax of a vector"""
    e = exp(vector)
    return e / e.sum()
hardmax_result = hardmax(data)
# 运转该示例回来列表索引值“0”，该值指向包括列表“3”中最大值的数组索引 [1]。
print(hardmax(data)) # 0
# convert list of numbers to a list of probabilities
softmax_result = softmax(data) 
print(softmax_result) # report the probabilities
print(sum(softmax_result)) # report the sum of the probabilitie

运转以上代码后，输出成果如下:

0

[0.87887824 0.11894324 0.00217852]

1.0

很明显程序的输出成果和咱们手动核算的成果是一样的。

Pytorch 中的 Softmax 函数界说如下:

def softmax(x):
    return torch.exp(x)/torch.sum(torch.exp(x), dim=1).view(-1,1)

dim=1 用于 torch.sum() 对所有列的每一行求和，.view(-1,1) 用于避免广播。

2.5，为什么不能运用均方差做为分类问题的丢失函数？

回归问题一般用均方差丢失函数，能够保证丢失函数是个凸函数，即能够得到最优解。而分类问题假如用均方差的话，丢失函数的体现不是凸函数，就很难得到最优解。而穿插熵函数能够保证区间内单调。

分类问题的最终一层网络，需求分类函数，Sigmoid 或许 Softmax，假如再接均方差函数的话，其求导成果杂乱，运算量比较大。用穿插熵函数的话，能够得到比较简单的核算成果，一个简单的减法就能够得到反向差错。

三，回归丢失

与分类问题不同，回归问题处理的是对具体数值的猜测。处理回归问题的神经网络一般只要只要一个输出节点，这个节点的输出值便是猜测值。

回归问题的一个基本概念是残差或称为猜测差错，用于衡量模型猜测值与实在符号的挨近程度。假定回归问题中对应于第 $i$ 个输入特征 $x_i$ 的标签为 $yi=(y1,y2,…,yM)⊤y^i = (y_1,y_2,…,y_M)^{\top}$ ， $M$ 为符号向量总维度，则 $l_{t}^{i}$ 即表明样本 $i$ 上神经网络的回归猜测值 ( $y^i$ ) 与其样本标签值在第 $t$ 维的猜测差错(亦称残差):

lti=yti−ytil_{t}^{i} = y_{t}^{i} – \hat{y}_{t}^{i}

常用的两种丢失函数为 $MAE\text{MAE}$ （也叫 L1 丢失）和 $MSE\text{MSE}$ 丢失函数（也叫 L2 丢失）。

3.1，MAE 丢失

均匀绝对差错（Mean Absolute Error，MAE）是用于回归模型的最简单但最强大的丢失函数之一。

因为存在离群值（与其余数据差异很大的值），所以回归问题或许具有本质上不是严厉高斯散布的变量。在这种状况下，均匀绝对差错将是一个理想的选择，因为它没有考虑异常值的方向（不切实际的高正值或负值）。

望文生义，MAE 是方针值和猜测值之差的绝对值之和。 $n$ 是数据集中数据点的总数，其公式如下:

MAEloss=1n∑i=1N∑t=1M∣yti−yti∣\text{MAE loss} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{M} |y_{t}^{i} – \hat{y}_{t}^{i}|

3.2，MSE 丢失

均方差错（Mean Square Error, MSE）几乎是每个数据科学家在回归丢失函数方面的偏好，这是因为大多数变量都能够建模为高斯散布。

均方差错核算办法是求猜测值与实在值之间间隔的平方和。猜测值和实在值越挨近，两者的均方差就越小。公式如下:

MSEloss=1n∑i=1N∑t=1M(yti−yti)2\text{MSE loss} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{M} (y_{t}^{i} – \hat{y}_{t}^{i})^2

3.3，`Huber` 丢失

MAE 和 MSE 丢失之间的比较产生以下成果：

MAE 丢失比 MSE 丢失更稳健。细心检查公式，能够观察到假如猜测值和实际值之间的差异很大，与 MAE 比较，MSE 丢失会放大效果。因为 MSE 会屈服于异常值，因而 MAE 丢失函数是更稳健的丢失函数。
MAE 丢失不如 MSE 丢失稳定。因为 MAE 丢失处理的是间隔差异，因而一个小的水平改变都或许导致回归线波动很大。在多次迭代中产生的影响将导致迭代之间的斜率产生显著改变。总结便是，MSE 能够保证回归线轻微移动以对数据点进行小幅调整。
MAE 丢失更新的梯度一直相同。即使关于很小的丢失值，梯度也很大。这样不利于模型的学习。为了处理这个缺陷，咱们能够运用改变的学习率，在丢失挨近最小值时下降学习率。
MSE 丢失的梯度随丢失增大而增大，而丢失趋于0时则会减小。其运用固定的学习率也能够有用收敛。

Huber Loss 结合了 MAE 的稳健性和 MSE 的稳定性，本质上是 MAE 和 MSE 丢失中最好的。关于大差错，它是线性的，关于小差错，它本质上是二次的。

Huber Loss 的特征在于参数 $\delta$ 。当 $\hat{y}|$ 小于一个事先指定的值 $\delta$ 时，变为平方丢失，大于 $\delta$ 时，则变成类似于绝对值丢失，因而其是比较robust 的丢失函数。其界说如下:

Huberloss={12[yti−yti]2∣yti−yti∣≤∣yti−yti∣−122∣yti−yti)∣>\text{Huber loss} = \left \lbrace \begin{matrix} \frac12[y_{t}^{i} – \hat{y}_{t}^{i}]^2 & |y_{t}^{i} – \hat{y}_{t}^{i}| \leq \delta \\ \delta|y_{t}^{i} – \hat{y}_{t}^{i}| – \frac12\delta^2 & |y_{t}^{i} – \hat{y}_{t}^{i})| > \delta \end{matrix}\right.

三种回归丢失函数的曲线图比较如下：

代码来源 Loss Function Plot.ipynb。

三种回归丢失函数的其他方式界说如下:

3.4，代码实现

下面是三种回归丢失函数的 python 代码实现，以及对应的 sklearn 库的内置函数。

# true: Array of true target variable
# pred: Array of predictions
def mse(true, pred):
    return np.sum((true - pred)**2)
def mae(true, pred):
    return np.sum(np.abs(true - pred))
def huber(true, pred, delta):
    loss = np.where(np.abs(true-pred) < delta , 0.5*((true-pred)**2),delta*np.abs(true - pred) - 0.5*(delta**2))
    return np.sum(loss)
# also available in sklearn
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.metrics import mean_absolute_error

参阅资料

《着手学深度学习-22.11. Information Theory》
丢失函数｜穿插熵丢失函数
AI-EDU: 穿插熵丢失函数
常见回归和分类丢失函数比较
《PyTorch_tutorial_0.0.5_余霆嵩》
pytorch.org/docs/stable…
一文详解Softmax函数
AI-EDU: 多分类函数

深度学习基础-损失函数详解

一，丢失函数概述

二，穿插熵函数-分类丢失

2.1，穿插熵（Cross-Entropy）的由来

2.1.1，熵、相对熵以及穿插熵总结

2.2，二分类问题的穿插熵

2.3，多分类问题的穿插熵

2.4，PyTorch 中的 Cross Entropy

2.4.1，Softmax 多分类函数

2.5，为什么不能运用均方差做为分类问题的丢失函数？

三，回归丢失

3.1，MAE 丢失

3.2，MSE 丢失

3.3，Huber 丢失

3.4，代码实现

参阅资料

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