深入浅出回溯算法

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一，怎样了解回溯算法

深度优先查找算法使用的便是回溯算法思维，但它除了用来指导像深度优先查找这种经典的算法规划之外，还能够用在许多实际的软件开发场景中，比方正则表达式匹配、编译原理中的语法分析等。

除此之外，许多经典的数学问题都能够用回溯算法处理，比方数独、八皇后、0-1 背包、图的上色、旅行商问题、全摆放等等。

回溯的处理思维，有点类似枚举查找。暴力枚举一切的解，找到满足希望的解。为了有规则地枚举一切或许的解，避免遗漏和重复，咱们把问题求解的进程分为多个阶段。每个阶段，咱们都会面临一个岔路口，咱们先随意选一条路走，当发现这条路走不通的时分（不符合希望的解），就回退到上一个岔路口，另选一种走法持续走。

回溯算法的模板代码总结如下：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        寄存结果;
        return;
    }
    for (挑选：本层调集中元素（树中节点孩子的数量便是调集的巨细）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，挑选列表); // 递归
        回溯，吊销处理结果
    }
}

二，回溯算法的经典应用

2.1，八皇后问题

有一个 8x8 的棋盘，希望往里放 8 个棋子（皇后），每个棋子地点的行、列、对角线都不能有另一个棋子。这儿的“对角线”指的是一切的对角线，不只是平分整个棋盘的那两条对角线。

处理思路：能够把这个问题划分红 8 个阶段，顺次将 8 个棋子放到榜首行、第二行、第三行……第八行，每一行都有 8 中放法（8 列）。在放置的进程中，咱们不停地检查当时放法，是否满足要求。假如满足，则跳到下一行持续放置棋子；假如不满足，那就再换一种放法，持续测验。这儿用的是回溯思维，而回溯算法也十分适合用递归代码完成。

// N 皇后问题 leetcode 51 https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/
class Solution {
private:
    vector<vector<string>> result;
    void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard){
        if(row == n) {
            result.push_back(chessboard);
            return;
        }
        for(int column=0; column < n; column++){ // 每一行都有8中放法
            if (isOK(row, column, n, chessboard)){
                chessboard[row][column] = 'Q';  // 放置皇后
                backtracking(n, row+1, chessboard);
                chessboard[row][column] = '.';  // 回溯，吊销处理结果
            }
        }
    }
    // 判别 row 行 column 列放置皇后是否适宜
    bool isOK(int row, int column, int n, vector<string>& chessboard){
        int leftup = column - 1; int rightup = column + 1;  // 左上角和右上角
        for(int i = row-1; i>=0; i--){  // 逐行网上调查每一行
            // 判别第 i 行的 column 列是否有棋子
            if(chessboard[i][column] == 'Q') {
                return false;
            }
            // 调查左上对角线：判别第i行leftup列是否有棋子   
            if(leftup >=0 ){
                if(chessboard[i][leftup] == 'Q') return false;
            }
            // 调查左上对角线：判别第i行rightup列是否有棋子
            if(rightup < n){
                if(chessboard[i][rightup] == 'Q') return false;
            }
            --leftup;
            ++rightup;
        }
        return true;
    }  
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        result.clear();
        std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, '.'));
        backtracking(n, 0, chessboard);
        return result;
    }
};

2.2，0-1 背包问题

0-1 背包是十分经典的算法问题。0-1 背包问题有许多变体，这儿介绍一种比较根底的。咱们有一个背包，背包总的承载分量是 W kg。现在咱们有 n 个物品，每个物品的分量不等，而且不可分割，即关于每个物品来说，都有两种挑选，装进背包或许不装进背包，关于 n 个物品来说，总的装法就有 2^n 种。

咱们现在希望挑选几件物品，装载到背包中。在不超越背包所能装载分量 W 的前提下，怎样让背包中物品的总分量最大？

0-1 背包问题为什么不能用贪心算法求解？

由于不可分割，所以无法判别当时状况下，哪种物品对希望值奉献更大，即不存在当时最优的挑选，所以就无法使用贪心算法了。

0-1 背包问题的高效解法是动态规划算法，但也可用没那么高效的回溯办法求解。咱们能够把物品顺次摆放，整个问题就分化为了 n 个阶段，每个阶段对应一个物品怎样挑选。先对榜首个物品进行处理，挑选装进去或许不装进去，然后再递归地处理剩余的物品。

int maxW = 0;
// cw 表明当时装进背包的物品的分量和，w 表明背包承载的分量
// items  表明物体的分量数组，n 表明总的物品个数， i 表明调查到第 i 个物品
int f(int i, int cw, vector<int> items, int n, int w){
    // 递归完毕条件：cw == w 表明背包已经装满，i==n 表明调查完一切物品
    if(cw == w || i == n){
        if(cw > maxW) maxW = cw;
        return;
    }
    f(i+1, cw, items, n, w);  // 不装
    // 剪枝进程，当装入的物品分量大于背包的分量，就不持续履行
    if(cw+items[i] <= w){
        f(i+1, cw+items[i], items, n, w); // 装
    }
}

要了解 0-1 背包问题回溯解法的关键在于：关于一个物品而言，只要两种状况，不装入背包和装入背包两种状况。对应的便是 f(i+1, cw, items, n, w) 和 f(i+1, cw + items[i], items, n, w) 两个函数。

2.3，通配符匹配

假定正则表达式中只包括 “*” 和 “?” 这两种通配符，而且对这两个通配符的语义稍微做些改变，其中，“*” 匹配恣意多个（大于等于 0 个）恣意字符，“?” 匹配零个或许一个恣意字符。根据以上布景假定，怎样用回溯算法，判别一个给定的文本，是否和给定的正则表达式匹配？

假如遇到特别字符的时分，咱们就有多种处理方式了，也便是所谓的岔路口，比方 “*” 有多种匹配计划，能够匹配恣意个文本串中的字符，咱们就先随意的挑选一种匹配计划，然后持续调查剩余的字符。假如中途发现无法持续匹配下去了，咱们就回到这个岔路口，重新挑选一种匹配计划，然后再持续匹配剩余的字符。

// 暴力递归 --> 回忆化 --> DP --> 状况紧缩DP；
class Solution{
private:
    bool matched = false;
    void backtracking(int ti, int pj, string text, string pattern){
        if (matched) return;
        if(pj == pattern.size()){  // 正则表达式到末尾了
            if(ti == text.size())
                matched = true;
            return;
        }
        // *匹配恣意个字符
        if(pattern[pj] == '*'){
            for(int k=0; k< text.size()-ti;k++)
                backtracking(ti+k, pj+1, text, pattern);
        }
        // ?匹配0个或许1个字符
        else if(pattern[pj] == '?'){
            backtracking(ti, pj+1, text, pattern);
            backtracking(ti+1, pj+1, text, pattern);
        }
        // 纯字符匹配才行      
        else if(ti < pattern.size() && pattern[pj] == text[ti]) { 
            backtracking(ti+1, pj+1, text, pattern);
        }
    }
public:
    bool isMatch(string text, string pattern){
        matched = false;
        backtracking(0, 0, text, pattern);
        return matched;
    }
};

2.4，leetcode 正则表达式匹配

在 leetcode 也有变形题（leetcode10:正则表达式匹配）如下：

其他变形题：leetcode44-通配符匹配

给你一个字符串s和一个字符规则p，请你来完成一个支撑 '.'和'*'的正则表达式匹配。

• ‘.’ 匹配恣意单个字符
• ‘*’ 匹配零个或多个前面的那一个元素

所谓匹配，是要涵盖整个字符串s 的，而不是部分字符串。

办法一：回溯（分阶段分状况讨论，暴力查找和剪枝）

首要，考虑特俗字符只要 '.' 的状况。这种状况会很简略：咱们只需要从左到右顺次判别 s[i] 和 p[i] 是否匹配。

def isMatch(self,s:str, p:str) -> bool:
    """字符串 s 和字符规则 p"""
    if not p: return not s # 边界条件
    first_match = s and p[0] in {s[0],'.'}  # 比较榜首个字符是否匹配
    return first_match and self.isMatch(s[1:], p[1:])

最后，考虑有 ’*' 的状况，它会呈现在 p[1] 的方位，匹配进程中会呈现两种状况：

• 星号代表匹配 0 个前面的元素。如 '##' 和 a*##，这时咱们直接疏忽 p 的 a*，比较 ## 和 ##，也便是持续递归比较 s 和 p[i + 2:]；
• 星号代表匹配一个或多个前面的元素。如 aaab 和 a*b，这时咱们将疏忽 s 的榜首个元素，比较 aab 和 a*b，也便是持续递归比较 s[i + 1:] 和 p。（这儿默许要检查 s[0] 和 p[0] 是否持平）。

Python3 代码如下：

class Solution:
    def isMatch(self, s: str, p: str) -> bool:
        if not p: return not s
        first_match = bool(s and p[0] in {s[0],'.'})  # 比较榜首个字符是否匹配
        if len(p) >=2 and p[1] == '*':
            # * 匹配前面一个字符 0 次或许屡次
            return self.isMatch(s, p[2:]) or first_match and self.isMatch(s[1:], p)
        else:
            return first_match and self.isMatch(s[1:], p[1:])

C++ 代码如下：

// letcode10 正则表达式匹配
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;
class Solution{
public:
    bool isMatch(string s, string p){
        // 假如正则串 p 为空字符串，s 也为空，则匹配成功
        if(p.empty()) return (s.empty());
        // 判别 s 和 p 的首字符是否匹配，留意要先判别 s 不为空
        bool match = (!s.empty()) && (s[0] == p[0] || p[0] == '.');
        // 假如p的榜首个元素的下一个元素是 *，则分别对两种状况进行判别
        if(p.size() >= 2 && p[1] == '*'){
            // * 匹配前面一个字符 0 次或许屡次
            return isMatch(s, p.substr(2)) || (match && isMatch(s.substr(1), p));
        }
        else{ // 单个匹配
            return match && isMatch(s.substr(1), p.substr(1));
        }
    }
};

直接递归时刻复杂度太大（指数级），能够把之前的递归进程记录下来，用空间换时刻。回忆化递归的 C++ 代码如下：

class Solution{
public:
    bool isMatch(string s, string p){
        unordered_map<int, bool> memo;
        return backtracking(s, 0, p, 0, memo);
    }
    bool backtracking(string s, int i, string p, int j, unordered_map<int, bool> & memo){
        // # 检查 s[i] 是否能被匹配，留意要先判别 s 不为空
        bool match = (i < s.size()) && (s[i] == p[j] || p[j] == '.');
        if(j >= p.size()) return i >= s.size();  // p 和 s 一起遍历完
        int key = i * (p.size() + 1) + j; // 哈希键
        if (memo.find(key) != memo.end()) // 这个状况之前经历过，能够返回结果
            return memo[key];
        else if (i == s.size() && j == p.size()) // 假如s和p一起用完，匹配成功
            return memo[key] = true;
        else if((p.size()-j) >= 2 && p[j+1] == '*'){
            // * 匹配前面一个字符 0 次或许屡次
            if(backtracking(s, i, p, j+2, memo) || match && backtracking(s, i+1, p, j, memo))
                return memo[key] = true;
        }
        else { // 单个匹配
            if(match && backtracking(s, i+1, p, j+1, memo))
                return memo[key] = true;
        }
        return memo[key] = false; // 没辙了，匹配失败
    }
};

办法二：动态规划法

• 算法思路
• 代码

三，总结

回溯算法的思维十分简略，大部分状况下，都是用来处理广义的查找问题，也便是，从一组或许的解中，挑选出一个满足要求的解。回溯算法十分适合用递归来完成，在完成的进程中，剪枝操作是进步回溯效率的一种技巧。使用剪枝，咱们并不需要穷举查找一切的状况，从而进步查找效率。

尽管回溯算法的原理十分简略，可是却能够处理许多问题，比方咱们最初说到的深度优先查找、八皇后、0-1 背包问题、图的上色、旅行商问题、数独、全摆放、正则表达式匹配等等。

回溯算法能处理的问题，基本用动态规划也能处理，其时刻复杂度更低，空间复杂度更高，用空间换时刻。

参考资料

• leetcode 8皇后问题题解
• 回溯算法：从电影《蝴蝶效应》中学习回溯算法的核心思维
• 腐烂的橘子题解-回溯和动态规划