因果推断学习笔记.5：结构因果模型 (SCM)

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上一篇的综述论文读的比较懵。为此，从这一篇开始记载Judea Pearl的Causal Inference in Statistics: A Primer的阅览笔记，将经典的因果推断理论基础打好后再考虑机器学习领域的因果推断。

结构因果模型

• 结构因果模型（Structural Causal Model, SCM）
  结构因果模型运用有向图（一般为有向无环图，Directed Acyclic Graph, DAG）来建模变量间的因果关系。

基本概念

• 外源变量（exogenous variables）$U$：处在模型之外（指模型中没有指向它的原因变量）的变量，无需建模其他变量指向它的因果。在因果有向图中，外源变量悉数为根节点。外源变量一般充当内源变量的差错项（在模型建模的因果关系外影响内源变量取值的要素）。
• 内源变量（endogenous variables）$V$：模型内（建模）的变量。每个内源变量被至少一个外源变量指向（存在有向边）。
• 映射函数 $f$：从原因变量到成果变量的映射函数，解说因果关系怎么发生作用。

乘积分解规矩

• 乘积分解规矩（rule of product decomposition）
  运用因果变量间的条件概率的乘积分解一切变量的联合概率：

其间paipa_ipai​表明变量XiX_iXi​的父节点变量的取值。例如，已知链状有向因果图$X\to Y\to Z$，则它们的取值的联合概率为：

有向图模型

• 结构因果模型中的有向图模型及其使用
  依据图的构型，将有向图模型分为三类：
• Chains：$X\to Y\to Z$，链状衔接
• Forks：$X\to Y,X\to Z$，一个原因变量决议一切成果变量。其间那仅有的原因变量被称作common cause
• Colliders：$X\to Z,Y\to Z$，一切原因变量决议一个成果变量（磕碰节点，collision node）

graph TB
Ux1((Ux1))
X1((X1))
Uy1((Uy1))
Y1((Y1))
Uz1((Uz1))
Z1((Z1))
Ux2((Ux2))
Uy2((Uy2))
X2((X2))
Y2((Y2))
Uz2((Uz2))
Z2((Z2))
Ux3((Ux3))
X3((X3))
Uy3((Uy3))
Y3((Y3))
Uz3((Uz3))
Z3((Z3))
X1-->Y1
Y1-->Z1
X2-->Y2
X2-->Z2
X3-->Z3
Y3-->Z3
Ux1-->X1
Uy1-->Y1
Uz1-->Z1
Ux2-->X2
Uy2-->Y2
Uz2-->Z2
Ux3-->X3
Uy3-->Y3
Uz3-->Z3

上图从左到右每个连通图依次为Chains, Forks, Colliders。其间U*表明外源变量。

Chains & Forks & Colliders 中的三条独立性规矩

R1. Chains中的条件独立性：给定两个变量$X$和$Y$，称它们在给定变量$Z$时是独立的，假如$X$和$Y$之间只要一条单向途径，并且该途径被$Z$切断。

解说：假如$X\to \dots \to Z\to \dots \to Y$且$X$到$Y$的途径只要这一条，那么他俩便是关于$Z$条件独立的。

R2. Forks中的条件独立性：假如变量$X$是变量$Y$和变量$Z$的仅有原因变量，那么变量$Y$和$Z$是关于$X$条件独立的。

了解：当$X$固守时，仅有影响$Y$和$Z$的取值的只要它们各自的外源变量UyU_yUy​和UzU_zUz​。因为UyU_yUy​和UzU_zUz​是独立的（外源变量不依靠于任何其他变量），因而$Y$和$Z$是条件独立的。

R3. Colliders中的条件独立性：假如变量$Z$是$X$和$Y$的磕碰节点，并且$X$和$Y$之间只要这一条途径（留意，不仅是有向途径），那么$X$和$Y$在无条件时是独立的，但在给定$Z$或$Z$的恣意后继节点时是条件不独立的。

了解：R3是对因果关系的研讨中极其重要的一条规矩！它可以了解为，假如成果变量$Z$是固定的，那么当$X$的值改动时，需求改动$Y$的值，从而补偿$X$对$Z$造成的影响。例如一次考试包括理论、试验两部分。那么“总分”便是“理论分”和“试验分”的磕碰节点。假如总分固定，且某人的理论分较高，那么它的试验分有必要较低从而使总分固定，反之亦然。那么理论分和试验分便是关于总分条件不独立的。

有向别离&有向衔接(d-*)

• 有向别离：d-seperation（‘d’的意思是directional）用于识别节点对处于的状态（有向别离态或有向衔接态）的过程。
• 有向衔接态：d-connected，表明存在衔接两个节点的途径。有向衔接态的节点对是不独立（一个依靠另一个）的。
• 有向别离态：d-seperated，表明不存在衔接两个节点的途径。有向别离态的节点对一定是独立的。

判别一对节点是否是有向别离态的，其方法在于判别衔接它们的一切途径（留意，不是有向途径）是否都是阻断的（blocked）。假如一切途径都是阻断的，那么此二者便是有向别离态的，不然它们是有向衔接态的。

• 假如“依靠性”不能从某个节点沿着经过节点$Z$（对$Z$不取条件）的途径传递到另一个节点，那么称$Z$阻断这条途径。
• 被阻断的对象是衔接两个节点的一条途径，而不是两个节点。
• 假如节点$Z$是节点$X$和$Y$的一条途径上的磕碰节点（collider），那么$Z$必定是可以阻断这条途径的。

除了磕碰节点，还有满意以下条件的节点可以阻断一条途径：

• 假如咱们对一个节点集$K$取条件（即固定节点集中的变量的值），且节点$Z$满意：
  • $Z$是磕碰节点且$Z\notin K$，且$Z$的恣意后继节点都不归于$K$
  • $Z\in K$且$Z$是一个chain或fork的中间节点

满意上述恣意一种条件的节点$Z$都能阻断条件中提及的途径。

根据“阻断”的界说，咱们可以给出有向别离的界说：

界说（有向别离，d-separation）：一条途径$p$可以被一个节点集$Z$阻断，当且仅当：

1. $p$包括chain $A\to B\to C$或fork $A\leftarrow B\to C$使得中间节点$B\in Z$（即$B$取条件），或
2. $p$包括collider $A\to B\leftarrow C$使得磕碰节点$B\notin Z$，且$B$的恣意后继节点都不归于$Z$。

若上述节点集$Z$阻断节点$X$和$Y$之间的一切途径，那么称$X$和$Y$是关于$Z$有向别离的（d-separated, conditional on $Z$），因而是关于$Z$条件独立的。

参考文献

1. Judea Pearl, Madlyn Glymour, Nicholas P.Jewell.Causal Inference in Statistics: A Primer.2016.WILEY

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