Unity三维坐标系中向量的简单计算与向量旋转

1、前语

前段时间接到一个开发任务，在unity中做一个仿真模仿的功用，由于不是简略的直线规范工件，一般来说简略的直线工件运用三角函数就能解决相关的核算，然后完成仿真模仿。本次模仿涉及到圆、圆弧以及直线，需求求解直线与圆相交的直线与直线相交，以及求解线段在圆内的折射、反射，思来想去就运用了向量核算，分享下开发过程中运用到的关于向量的核算。

2、向量的根本运算与运用

向量的根本运算及运用不过多介绍，网上文章较多，可参考向量运算与运用，本次首要分享在unity中向量的加减、向量点乘及向量旋转。

3、unity中向量的运用

3.1向量的加减与坐标点核算

在unity三维坐标系中一个坐标用类Vector3表明，在二维坐标系中用类Vector2表明，若已知点A坐标为（x1,y1,z1）,B点坐标为（x2,y2,z2），向量AB=B-A（箭头由A指向B），向量在unity中也是用Vector3来表明，向量不能简略理解为一个坐标点，这点要留意。

//点A
var A = new Vector3(x1, y1, z1);
//点B
var B= new Vector3(x2, y2, z2);
//向量AB
var AB = B - A;

已知向量AB，假如这个时分有一个点C间隔点A或点B的间隔是已知的（点C在向量AB的方向上），怎么求这个坐标点的坐标呢？很简略，先求向量AB的单位向量，C点坐标就等于点A或点B坐标加上方向向量乘以对应的间隔。需求判别的是C在AB向量的正方形还是反方向，这个结合实际情况判别，为正就A点加上单位向量乘以间隔，反之则减去。

//假设点A间隔点C间隔为10
var distance = 10;
//点C的坐标，若在向量AB的正方向上则
var C = A + AB.normalized * distance;
//若在向量AB的负方向上则
C = A - AB.normalized * distance;

3.2坐标点之间间隔的核算

unity中两个坐标点之间间隔的核算运用Vector3的函数Distance即可得到，十分简略，例如求A点、C点之前的间隔：

//点A到点C的间隔
var distanceAToC = Vector3.Distance(A, C);

3.3向量的点乘

向量的点乘在unity中用类Vector3的静态函数Dot（d1,d2）表明,即向量d1与d2进行点乘核算,数学含义便是向量d1与向量d2围成的平行四边形的面积。

接着上面的代码，存在点D，向量AB与向量CD的夹角为r，经过向量点乘公式能够求的夹角的弧度值。

//点D
var D = new Vector3(x3, y3, z3);
//向量CD
var CD = D - C;
//向量AB与向量CD的夹角的余弦值
var cos = Vector3.Dot(AB, CD) / (AB.magnitude * CD.magnitude);
 //夹角的弧度值
var radians = Mathf.Acos(cos);
//夹角的视点值
float degrees = Mathf.Rad2Deg * radians;

由单位向量的定义，能够先求每个向量的单位向量，再求夹角，上述代码也可描述为：

var D = new Vector3(x3, y3, z3);
var CD = D - C;
var cos = Vector3.Dot(AB.normalized, CD.normalized) / (AB.normalized.magnitude * CD.normalized.magnitude);
//夹角的弧度值
var radians = Mathf.Acos(cos);
//夹角的视点值
float degrees = Mathf.Rad2Deg * radians;
var incidentPoint = new Vector3(x, refPoint.y, z);

运用向量的加减、间隔核算，加上向量的点乘这些知识点，再运用二分法，能够轻松求解直线与圆的交点，直线与直线的交点等数学问题。下面放一段运用二分法求直线与圆相交点的代码，仅供参考：

//直线的点
tempIncident = new Vector3(x, centerElem.y, z);
 //求直线在圆外表的交点
 xLeft = tempIncident.x;
 xRight = 0;
 x = (xLeft + xRight) / 2;
 //由圆的方程知x得z
 z = Mathf.Sqrt((radius * radius) - Mathf.Pow(x + (wedgeLength / 2), 2)) - radius;
 //由直线方程式（x-x1）/(X2-x1)=(z-z1)/(z2-z1)可得
 difference = (x - tempIncident.x) / (centerElem.x - tempIncident.x) 
              - (z - tempIncident.z) / (centerElem.z - tempIncident.z);
 --------运用二分法求解交点----------
 count = 0;
 //当差错小于0.00001或迭代核算次数超过20次即退出循环
 while (Mathf.Abs(difference) > 0.00001 && count < 20)
 {
     if (difference > 0)
     {
         xLeft = x;
     }
     else
     {
         xRight = x;
     x = (xLeft + xRight) / 2;
     // 核算新的中点坐标和函数值
     z = Mathf.Sqrt((radius * radius) - Mathf.Pow(x + (wedgeLength / 2), 2)) - radius;
                difference = (x - tempIncident.x) / (centerElem.x - tempIncident.x) 
                             - (z - tempIncident.z) / (centerElem.z - tempIncident.z);
count++;
 }
 //交点坐标
 incidentPoint = new Vector3(x, centerE

3.4向量的旋转

什么情况下能用到向量的转转呢？便是已知一条向量在物体上反射之后，求反射后的向量，会用到向量的旋转，已知条件便是向量、反射点的法向量与向量的夹角。还是以上面的简略比如为比如进行阐明，已知向量AB和旋转角R,求向量AB以A点为旋转点，顺时针旋转R后的向量A’B’。

//反射角（弧度值）
var refractAngle = R;
//我这里假设一切向量都在X-Z平面，旋转轴便是Y轴，旋转轴的单位向量为 Vector3.up
var rotationAxis = Vector3.up;
//运用unity中Quaternion的AngleAxis来完成旋转，办法里边视点需转换为视点值，得到一个四元数
var rotationQuaternion = Quaternion.AngleAxis(-2 * refractAngle2 * 180 / Mathf.PI, rotationAxis);
//求解旋转后的向量
var A'B' = rotationQuaternion * AB;

4、总结

1、运用二分法求解直线与直线相交点、直线与圆弧的相交点十分便利，但是过程中要留意二分法的取值规模及指针移动的条件判别正确，否则就无法得到正确的交点。

2、已知夹角，运用向量的点乘加上二分法能够便利求解直线与圆的交点，相同需求留意的是圆的方程对于一个任何的x，y，z值都有对应的两个交点，需求根据条件判别你所求的点。

3、向量的旋转对于求解圆的折射和反射时十分便利，需求留意向量的正负与旋转视点的正负值，顺时针为负，逆时针选择则取正值。

4、unity三维坐标系中，常用的坐标核算相关的类便是vector3以及四元数Quaternion，把握这两个及相关的类的运用比较重要。