7.4 图的存储结构
图的存储结构相较线性表与树来说就愈加杂乱了。首先，咱们口头上说的“极点的方位”或“邻接点的方位”只是一个相对的概念。其实从图的逻辑结构界说来看，图上任何一个极点都可被看成是榜首个极点，任一极点的邻接点之间也不存在次第联络。比方图算法的时刻复杂度取决于7-4-1中的四张图，仔细观察发现，它们公积金其实是同一个图，只不过极点的方位不同，链表排序就构成了表象上不太相同的感觉。
图7-4-1
也正由于图的结构比较杂乱，任意两个极点之间都或许存在联络，逆向挑选因而无法以数据元素在内存中的物理方位来标明元素之间的联络，也便是说，图不行能用简略的次第存储结构来标明。而多重链表的办法，即以链表的特色一个数据域和多个指针域组成的结点标明图中的一个极点，尽管能够完毕图结构，但其实在树中，咱们也现已讨论过，这是有问题的测验你的自卑程度。假定各个极点的测验纸怎样看是否怀孕度数相逆向挑选差很大，按度数最大的极点规划结点结构会构成很多存储单元的糟蹋，而若按每个极点自己的度数规划不同的极点结构，又带来操作的不便。因而，关于图来说，怎样对它完毕物理存储是个难题，不过咱们的老一辈们现已处理了，现在咱们来看老一辈们供应的五种不同的存储结构测验网速。
7.4.1 邻接矩阵
考虑到图是由极点和边或弧两部分组成。合在一同比较困难，那就很自然地考虑到分两个结构来分别存储。极点不分大小、主次，所以算法设计与剖析用一个一维数组来存储是很不错的挑选。而边或弧由于链表排序是极点与极点之间的联络，一维搞不定，那就考虑用一个二维数组来存储。所以我算法与数据结构们的邻接矩阵的方案就诞生了。
图的邻接矩阵（Adjacency M测验at枸杞rix）存储办法是用两个数组来标明图。一个一维数组存储图中测验用例极点信息，宫颈癌前期症状一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信算法息。
设图G有n个极点，则邻接矩阵是一个nn的方阵，界说为：
咱们来看一个实例枸杞，图7-4测验手机是否被监控-2的左图便是一个无向图。
图7-4-2
咱们能够设置两个数宫颈癌组，极点数组为vertex[测验姓名分数4]={v0, v1, v2, v3}，边数组arc[4][4]为图7-4-2右图这样的一个矩阵。简略解说一下，关于矩阵的主逆向思想练习500题对角线的值，宫颈癌前期症状即ar算法的时刻复杂度取决于c[0][0]、arc[1][1]、arc[2][2]、arc[3][3]，全为0是由于不存在极点到本身的边，比方v0到v0。arc[0][1]=1是由于v0到v1的边存在测验怀孕的试纸图片一深一浅，而a算法导论rc[1][3]=0是由于v1到v3的边不存在。并且由于测验怀孕的试纸图片一深一浅是无向图，v1到v3的边不存在，意味逆向思想案例100个着v3到v1的边也不存在。所以无向图的边数组是一个对称矩阵。
嗯？对称矩阵是什么？忘记了没关系，温习一下。所谓对称矩阵便是n阶矩阵的元满测验姓名分数意aij=aji，（0≤i,j≤n）。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元与左下角相对应的元全都是持平的。
有了这个矩阵，咱们就能够很简略宫颈癌地知道图中的信息。
1．咱们要判定任意两极点是否有边无边就非常简略了。逆向挑选
2．咱们要知道某个极点的度，其实便是这个极点vi在邻接矩阵中第i行（或第i列）的元素之和。比方极点v1的度算法工程师便是1+0+1+0=2。
3．求极点vi的悉数邻接点便是将矩阵中第i行元素扫描一遍，链表和数组的差异arc[i][j]为1便是邻接点。
咱们再来看一个有向图样例，如图7-4-3所示的左图。
图7-4-3
极点数组为vertex[4]={v0, v1, v2, v3}，弧数组arc[链表数据结构4]链表的特色[4]为图7-4-3右图这样链表数据结构的一个矩阵。主对角线上数值依然为0。但由于是有向图，所以此矩阵并不对称，比方由v1到v0有弧，得到arc[1][0]=1，而v0到v1没有弧，因而arc[0][1]=0。
有向图考究入度与出度，极点v1的入度为1，正好是第v1列各数之和测验你的自卑程度。极点v1的出度为2，即第算法的空间复杂度是指v1行的各数之和。
与无向图相同的办法，判别极点vi到逆向成长vj是否存在弧，只需求查找矩阵中arc[i][j]是否为1即可。要求vi的悉数邻接点便是算法工程师将矩阵第i行元素扫描一遍，查找arc[i][j]为1的极点。
在图的术语中，咱们说到了网的概念，也便是每条边上带有权的图叫做网。那么这些权值就需求存下来，怎样处理这个矩阵来习惯这个需求呢？咱们有办法。
设图G是网图，有n个极点，则邻接矩阵是一个nn的算法导论方阵，界说为：
这儿wij标明（vi,vj）逆向思想案例100个或<vi,vj>上的权值。∞标明一个计算机答应的、大于悉数边上权值的值，也便是一个不行能的极限值。有同学会问，为什么不是0呢？原因在于权值wij大多数状况下是正值，但个别时分或许便是0，甚至有或许是负值。因而有必要要用一个不行能的值来代表不存在。如图7-4-4左图便是一个有向网图，右图便是它的邻接矩阵。
图7-4-4
那么邻算法的有穷性是指接矩阵是怎样完毕图的创立的呢？咱们先来看看图的邻接矩阵存储的结构，代码如下。
typedef char VertexType; /* 极链表点类型应由用户界说 */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户界说 */
#define MAXVEX 100 /* 最大极点数，应由用户界说 */
#define INFINI逆向成长TY 65535 /* 用65535来代表∞ */
typedef struct
{
VertexType vexs[MAXVEX];测验用例 /* 极点测验表 */
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; /* 邻接矩阵，可看作边表 */
int numVertexes, numEdges; /* 图中当时的极点工商银行数和边数 */
}MGraph;
有了这个结构界说，咱们构造一个Go图，其实便是给极点表和边表输入数据的进程。咱们来看看无向逆向行驶扣几分网图的创立代码。
从代码中也能够得到，n个极点和e条边的无向网图的创立，时刻杂乱度为O(n+n2+e)，其间对邻接矩阵G.算法导论ar测验用例c的初始化耗费了O(n2)的时刻。
7.4.2 邻接表
邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是咱们也发现，关于边数相对极点较少的图，这种结构是存在对存储空间的极大糟蹋的。比google如说，假定咱们要处理图7-4-5这样的稀少有向图，邻接矩阵中除了arc[1][0]有权值外，没龚俊有其他弧，其实这些存储空间都糟蹋掉了。
图7-4-5
因而咱们考虑其他一种存储结构办法。回想咱们在线性表时谈到，次第存储结算法剖析的意图是构就存在预先分配内存或许构成存储空间糟蹋的问题，所以引出了链式存储的结构。相同的，咱们也能够考虑对边或弧运用链式存储的办法来防止空间糟蹋的问题。
再回想咱们在树中谈存储结构时，讲到了一种孩子标明法，将结点存入数组，并对结点的孩子进行链式存储，不论有多链表查询少孩子，也不会存测验姓名分数在空间糟蹋问题。这个思路相同适用于图的算法的有穷性是指存储。咱们把这种数组与链表相结合的存储办法称为邻接表（Adjacency List） 。
邻接表的处理办法是这样。
1．链表排序图中极点用一个一算法导论维数组存储，当然，极点也能够用单链表来存储，不过数组能够较简略地读取极点信息，愈加便利。其他，关于极点数组中，每个数据元素还需求存储指向榜首个邻接点的指针，以便于查找该极点的边信息。
2．图中每个极点vi的悉数邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储，无链表怎样调节长度向算法的空间复杂度是指图称为极点vi的边表，有向图则称为极点vi作为弧尾的出边表。
例如图7-4-6所示的便是一个无向图的邻接表结构。
图7-4-6
从图中咱们知道，极点表的各个结点由data和firs测验抑郁症的20道题tedge两个域标明，data是数据逆向挑选域，工商银行存储极点的信息，firstedge是指针域，指向边表的榜首逆向挑选个结点，即此极点的榜首个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。a逆向行驶扣几分罚款多少钱djvex是邻宫崎骏接点域，存储某极点的邻接宫崎骏点在极点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。比方v1极点与v0、v2互为邻接点，则在v1的边表中逆向，ad算法是什么jvex分别为v0的0和v2的2。
这样的结构，关于Go咱们要取得图的相关信息也是很便利的。比方咱们要想知道某个极点的度，就去查找这个极测验工程师点的边表中结点的个数。若要判别极测验怀孕的试纸图片一深一浅点vi到vj是否存在边，只需求测验链表数据结构极点vi的测验怀孕的试纸图片一深一浅边表中链表排序adjvex逆向思想是否存在结点vj的下标j就行了。若求极点的悉数邻接点，其实便是对此极点的边表进行遍历，得到的adjvex域对应的极链表和数组的差异点便是邻接点。
若是有向图，邻接表结链表的特色构是类似的，比方图7-4-7中榜首幅图的邻接表便是第二幅图。但要留意的是有向图由于有方向，咱们是以极点为弧尾来存储边表宫崎骏的，这样很简略就能够得到每个极点的出度。但也有时为了便于承认极点的入度或以极点为弧头的弧，咱们能够树立一个有向图的逆邻接表公积金，即对每个极点vi都树立一个链接为vi为弧头的表。如图7-4-7的第三幅图所示。
图7-4-7
此刻咱们很简略就能够算出某个极点的入度或出度是多少，判别测验工程师两极点是否存在弧也很简略完毕。
关于带测验网速权值的网图，能够在边表结点界说中再添加一个weight的数据域，逆向思想练习500题存储权值测验你的自卑程度信息即算法设计与剖析可，如图7-4-8所示。
图7-4-8
有了这些结构的图，下面关于结点界说的代码测验你的自卑程度就很好链表c言语了解了。
typedef char VertexType; /* 极点类算法的有穷性是指型应由用户界说 */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户界说算法是什么 */
typedef struct EdgeNode /* 边表结点 */
{
int adjvex; /* 邻接工商银行客服电话点域，存储该极点对应的下标 */
EdgeType weight; /* 用于存储权值，关于非网图能够不需求 */
struct EdgeNode *next; /* 链域，指向下一个邻接点 */
}EdgeNode;
typede公积金f st测验抑郁症的20道题ruct VertexNode /* 极点表结点算法是什么 */
{
Vertex公积金Type data; /*逆向思想练习500题 极点域，存储极点信息*/
EdgeNode *firstedge; /* 边表头指针 */
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
ty算法剖析的意图是pedef struct
{
AdjList adj测验你的自卑程度L算法与数据结构ist;
int numVertexes,numEdges; /* 图中逆向思想当时极点数和边数 */
}GraphAdjList;
关于邻接表的创算法的五个特性建，也便是瓜熟蒂落之事。无向图的邻接表创立代码如下。
这儿加粗代码，是运用了咱们在单链表创立中解宫颈癌说到的头逆向思想练习500题插法(3)，由于关于无向图，一条边对应都是两个极链表排序点，所以在循环中，一次就针对i和j分别进行了刺进。宫颈癌前期症状本算法的时刻杂乱度，关于n个极点e条边来说算法的空间复杂度是指，很简略得出是O(n+e)。
7.4.3 十字链表
记住看过一个构思，我非常喜欢。说的是在美国，晚上逆向游览需求保安通过视频监控对如商场超市、码头仓库、作业写字楼等场所进行安保作业，如图7-4-9所示。值夜班价值总是比较大的，所以人员本链表钱很高。咱们国家的一位老兄在国内经常和美国的朋友视频谈天，但总为白日黑夜的时差苦恼，遽然灵测验手机是否被监控感一来，想到一个绝妙的点子。他创立一家公司，接受美国客户的视频监控使工商银行命，由于美国的黑测验手机是否被监控夜便是我国的白日，运用互联网，他的职工白日上班就能够监控到美国仓库夜间的实际状况，假定发生了像火灾、盗窃这样的突发事件，及时电话到美国当地相关人员处理。由于运用了时差和人员本算法的时刻复杂度取决于钱的优势，这位老兄发了大财。这个构宫崎骏思让咱们知道，充分运用现有的资源，正向思想、逆向思想、整合思想能够创造更大价值。
图7-4-9
那么关于有向图来说，邻接表是有缺点的。关心了出度问题，想了解入度就有必要要遍历整个图才干知道，反之，逆邻接表处理了入度却不了解出度的状况。有没逆向行驶怎样处罚2021有或许把邻接表与逆邻接表结合起来呢？答案是必定的，便是把它们整合在一同。这便是咱们现在逆向思想练习500题要讲的有向图的一种存储办法：十字链表（Orthogonal List）。
咱们链表排序从头界说极点表结点结构如表7-4-1所示。
表7-4-1
其间fi公积金rstin标逆向挑选明入边表头指针，指向该极点的入边表中榜首个结点，firstout标明出边表头指针，指向该极点的出边表中的榜首个结点。
从头界说的边表结点结构如表7-4-2所示。
表7-4-2
其间tailvex是指弧起点在极点表的下标，headvex是指弧完毕在极点表中的下标，headlink是指入边表指针域，指向完毕相同的下一条边，taillink是指边表指针域，指向起点相同的下一宫崎骏条边。假定是网，还能够再添加一个weight域来存储权值。
比方图7-链表排序4-10，极点依然是存入一个一维数组{v0,v1,v2,算法v3}，实线箭头指针的图示彻底与图7-4-7的邻接表相同。就以极点v0来说，firstout指向的是出边表中的榜首个结点v3。所以v0边表结点的headvex=链表c言语3，而tailvex其实便是当时极点v0的下标0，由于v0只有一个出边极点，所以headlink和taillink都是空。
图7-4-10
咱们要点需求来解说虚算法线箭头的意义，它其实便是此图的逆邻接表的标明。关于v0来说，它有两个极点v1和v2的入边。因而v0的firstin指向极点v1的边表结点中headvex为0的结点，如图7-4-10右图中的①。接着由入边结点的headlink指向下一个入边极点v2，如图中的②。关于极点v1，它有一个算法与数据结构入边极点v2，所以它的firstin指向极点v2的边表结点中headvex为1的结点，如图中的③。极点v2和v3也是相同有一个入边极点，如图中④和⑤。
十字链表的优点便是因链表的特色为把邻接表和逆邻接表整合在了一同，这样既简略找到以v逆向游览i为尾的弧，也简略找到以vi为头的弧，因而简略逆向行驶扣几分罚款多少钱求得极点的出度和入度。并且它除了结构杂乱一点外，其实创立图算法的时刻杂乱度算法设计与剖析是和邻接表相同的，因而，在有向图的运用中，十字链表是非常好的数据结构模型。
7.4.4 邻接多重表
讲了有向图的优化存储结构，关于无向图的邻接表，有没有问题呢？假算法与数据结构设咱们在无向图的运用中，注重的要点是极点，那么邻接表是不错的挑选，但假定咱们更注重边的操作，比方对已访问过的逆向思想边做符号，删去某一条边等操作，那就意味着，需求找到这条边的两个边表结点进行操作，这其实仍是比较费事的。比方图7-4-11，若要删去左图的（v0,v2）这条边，需求对邻接表结构中右边表的阴影两个结点进行删去操作，显着这是比较烦琐的。
图7-4-11
因而，咱们也模仿十字链表的办法算法导论，对边表结点的结构进行一些改造，或许就能够防止刚才说到的问题。
从头界说的边表结点结构如表7-4-3所示。
表7-4-3
其间ive链表排序x和jvex是与某条边依托的两个极点在极点表逆向行驶扣几分罚款多少钱中下标。ilink指向依托极点ivex的下一条边，jlink指向依托极点jvex的下一条边。这便是邻接多重表结构。
咱们来看结构示意图的制作进程，了解了它是怎样连线的，也就了解邻接多重表构造原理了。如图7-4-12所示，左图奉告咱们它有4个极点和5条边，显着，咱们就应该先将4个极点和5条边的边表结点画出来。由于是无向图，所以链表回转ivex是0、jvex是1仍是反测验姓名分数过来枸杞都是无所谓的，不过为了绘图便利，都将ivex值设置得与一旁的极点下标相同。
图7-4-12
咱们开始连线，如图7-4-13。首先连线的①②③④便是将极点的firstedge指向一条边，极点下标要与ivex的值相同，这很好了解。接着，由于极点v0的（v0,v1）边的邻边有（v0,v3）和（v0,v2）。逆向成长因而⑤⑥的连线便是满意指向下一测验怀孕的试纸图片一深一浅条依托Go于极点googlev0的边的目标，留意ilink指向的结点的jvex必定要和它本身的i逆向思想的例子vex的值相同。相同的道理，连线⑦便是指（v1,v0）工商银行这条边，它是相当于极点v1指向（v1,v2）边后的下一条。v2有三条边依托，所以在③之后就有了⑧⑨。连线⑩的便是极点v3在连线④之后的下一条边。左图一共有5条边，所以右图有10条连线，彻底契合预期。
图7-4-13
到这儿，咱们应该能够了解，邻接多重表与邻接表的不同，只是是在于同一条边在邻接表顶用两个结点标明，而在邻接多重表中只测验怀孕的试纸图片一深一浅有一个结点。这样对边的操作就便利多了，若要删去左图的（v0,v2）这条边，只需求将右图的⑥⑨的链接指向改为∧即可。由于各种根本操作的完毕测验姓名分数也和邻接表是类似的，这儿咱们就不算法设计与剖析解说代码了。
7.4.5链表回转 边集数组
边集数组是由两个一维数组构成。一个是存储极点的信息；另一测验纸怎样看是否怀孕个是存储边的信息，这个边数组每个数据元素由算法是什么一条边的起点下标（begin）、完毕下标（end）和权（weight）组成，如图7-4-14所示。显着边集数组注重的是边算法的五个特性的调集，在边集数组链表的特色中要查找一个极点的度需求扫描整个边数组，功率并不高。因而它更适合对边依次进行处理的操作，而不适合对极点相关的操作。关于边集数组的运用我宫颈癌前期症状们将在本章7.6.2节的克鲁斯卡尔（Kruskal）算法中有介绍，这儿就算法剖析的意图是不再胪陈了。
图7-4-14
界说的边数组结构如表7-4-4所示。
表7-4-测验抑郁程度的问卷4
其间begin是存储起点下标，end是存储完毕下标，weight是存储权值。
