像素是图画的根本元素，像素与像素之间存在着某些联系，理解像素间的根本联系是数字图画处理的基础。常见的像素间的根本联系包含：邻域、邻接、通路、连通、间隔。

1. 邻域

邻域表明了像素之间的衔接联系。

像素(x,y)的邻域，是指与像素(x,y)对应的点的调集{(x+p,y+q)} ，其中 (p,q) 为一对有意义的整数。邻域是像素(x,y)附近像素形成的区域，像素 (x,y) 也被称为中心像素。

最常用的邻域有以下几种：

• 4 邻域：关于像素(x,y)，上下左右4个像素被称为 4 邻域，运用N4(p)N_4(p)N4​(p)表明。4 邻域的四个像素分别是：(x,y-1)、(x,y+1)、(x-1,y)、(x+1,y)。

• D 邻域：关于像素(x, y), 其左上、右上、左下、右下的四个对角上的像素组成了 D 邻域，运用Nd(p)N_d(p)Nd​(p)表明。D 邻域四个像素分别是：(x + 1, y + 1)、( x + 1, y – 1)、(x – 1, y + 1)、(x – 1, y – 1)。

• 8 邻域：关于像素(x,y)，它的 4 邻域的点和 D 邻域的点组成了 8 邻域，运用N8(p)N_8(p)N8​(p)表明。那么，N8(p)=N4(p)+Nd(p)N_8(p)=N_4(p)+N_d(p)N8​(p)=N4​(p)+Nd​(p)

邻域是一个很基础的概念。后续咱们对图画进行卷积操作的时分，通常是对当时像素的邻域像素进行操作的。

以一个最简略的均值滤波为例，均值滤波是关于每一个像素点, 将其设定为取其邻域窗口内的一切像素的平均值。

算术均值滤波器的公式：

g(x,y)=1m∗n∑i,j∈Sxyf(i,j)g(x,y)=frac{1}{m*n}sum_{i,jinS_{xy}}f(i,j)g(x,y)=m∗n1​∑i,j∈Sxy​​f(i,j)

其中，SxyS_{xy}Sxy​表明以像素(x,y)为中心的区域，m*n 是 模板 的巨细。f(x,y) 表明原图画，g(x,y) 表明运用 SxyS_{xy}Sxy​ 定义的邻域中的像素所核算出的算术平均值。

这里的模板，也能够被称为核(kernels)、窗口(windows)、掩模(mask)。

下图以 3*3 的模板为例，均值滤波会对原图画的每一个像素点，核算它的邻域像素和模版矩阵的对应元素的乘积，然后加起来，作为该像素方位的值。窗口的移动是从左到右，然后从上到下顺次移动。

下面，完成一个简略的均值滤波函数

Mat meanFilter(Mat &src, int ksize = 3)
{
    cv::Mat dst = src.clone();
    int k0 = ksize/2;
    int sum[3] = {0,0,0};
    for(int i=k0;i<dst.rows-k0-1;i++)
    {
        for(int j=k0;j<dst.cols-k0-1;j++)
        {
            memset(sum,0, sizeof(sum));
            for(int channel = 0; channel<3; channel++)
            {
                for(int m = 0;m<ksize;m++)
                {
                    for (int n=0;n<ksize;n++)
                    {
                        sum[channel] += src.at<cv::Vec3b>(i-k0+m,j-k0+n)[channel];
                    }
                }
                dst.at<Vec3b>(i,j)[channel] = saturate_cast<uchar>((float)sum[channel] /(ksize*ksize));
            }
        }
    }
    return dst;
}

当然这个代码只是粗略地完成均值滤波，存在着许多优化的空间，例如运用积分图、卷积核别离等。OpenCV 也提供了均值滤波函数 blur() 函数。

int main(int argc,char *argv[])
{
    Mat src = imread(".../flower.jpg");
    imshow("src",src);
    Mat dst;
    dst = meanFilter(src, 15);
    imshow("meanFilter",dst);
    blur(src,dst,Size(15,15));
    imshow("blur",dst);
    waitKey(0);
    return 0;
}

上面只是简略例举了范畴的运用场景，后续会有专门的文章来详细介绍卷积和滤波。

2. 邻接

邻接是指两个像素，在方位上相邻而且取值相同或相近。

咱们用 V 表明定义邻接的灰度值调集。在二值图画中，V={1} 表明值为1的像素邻接。在灰度图画中，V 包含更多的元素。

• **4 邻接：**关于灰度值在 V 调集中的像素 p 和 q，假如 q 在 N4(p)N_4(p)N4​(p) 中，那么像素 p 和 q 是 4 邻接的。

• **8 邻接：**关于灰度值在 V 调集中的像素 p 和 q，假如 q 在 N8(p)N_8(p)N8​(p) 中，那么像素 p 和 q 是 8 邻接的。

• **m 邻接(混合邻接)：**m 邻接是 8 邻接的改进。只需满足以下任何一个条件即可：

  • q 在 N4(p)N_4(p)N4​(p) 中

  • q 在 Nd(p)N_d(p)Nd​(p) 中，且调集在 N4(p)∩N4(q)N_4(p)cap N_4(q)N4​(p)∩N4​(q) 中没有来自 V 中的像素。

像素 p 和 q 是 4 邻接，那么它们一定是 8 邻接的。反之，不一定成立。

下图反响了 8 邻接会带来二义性。

从图中能够看到，p 是中心像素。

1. q1、q2 和 p 是 8 邻接的。

2. q1 和 p 非 m 邻接的。

3. q2 和 p 是 m 邻接的。

某条通路通过像素 q2、p、q1，那会有几种走法呢？

假如从 p、q1、q2 是 8 邻接的视点看，p 到 q1 能够有2种走法，所以 q2 到 q1 的通路有2条。

同理，从 m 邻接视点看，p 和 q1 只有1种走法，所以 q2 到 q1 的通路只有1条。

所以，m 邻接的引进是为了消除 8 邻接常常带来二义性。

从调集的视点看：$4邻接\subset m邻接\subset 8邻接$

3. 通路

通路：从像素 p(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​) 到像素 q(xn,yn)(x_n,y_n)(xn​,yn​) 的通路是特定的像素序列，其坐标为：

(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)，…(xn,yn)(x_0,y_0)，(x_1,y_1)，(x_2,y_2)，…(x_n,y_n)(x0​,y0​)，(x1​,y1​)，(x2​,y2​)，…(xn​,yn​)

而且满足， (xi,yi)(x_i,y_i)(xi​,yi​) 和 (xi−1,yi−1)(x_{i-1},y_{i-1})(xi−1​,yi−1​) 关于 $1\le i\le n$ 是邻接的。

**闭合通路：**假如满足(x0,y0)=(xn,yn)(x_0,y_0)=(x_n,y_n)(x0​,y0​)=(xn​,yn​)，则通路是闭合通路。

由不同的邻接定义，能够得到不同的通路：4 邻接 => 4 通路，8 邻接 => 8 通路，m 邻接 => m 通路

所以，从中心的图能够看到 q2 和 q1 之间存在 8 通路，从最右的图能够看到 q2 和 q1 之间存在 m 通路。

从调集的视点看：$4通路\subset m通路\subset 8通路$

下图中，p-q 通路对应的是不同的通路。

4. 连通

连通：若 S 是图画中的一个像素子集，关于恣意的 $p、q\in S$。假如存在一条由 S 中像素组成的从 p 到 q 的通路，则称 p 在图画集 S 中与 q 连通。

邻接是连通的一种特例，连通是由一系列顺次邻接的像素组成的。

连通分为 4 连通和 8 连通。

连通重量：关于 S 中恣意像素 p，一切与 p 相连通且又在 S 中的像素调集。

连通集：假如 S 中仅有一个连通重量，则 S 称为连通集。

在之前根本图形的绘制那篇文章里， 曾介绍过绘图函数所运用的 lineType 参数。

下面对这个参数做一些弥补阐明：

• LINE_4 ：根据 4 连通 Bresenham 算法处理的直线。

• LINE_8 ：根据 8 连通 Bresenham 算法处理的直线。

• LINE_AA ：根据高斯滤波滑润处理的直线。

下面的例子，展示了运用不同的 lineType 参数的作用

int main(int argc,char *argv[])
{
    Mat image = Mat::zeros(Size(80, 80), CV_8UC3);
    image.setTo(255);// 设置屏幕为白色
    Point p1(20, 0);
    Point p2(80, 60);
    Point p3(0, 0);
    Point p4(80, 80);
    Point p5(0, 20);
    Point p6(60, 80);
    line(image, p1, p2, Scalar(0, 0, 255), 1, LINE_4);
    line(image, p3, p4, Scalar(255, 0, 0), 1, LINE_8);
    line(image, p5, p6, Scalar(0, 255, 0), 1, LINE_AA);
    imshow("src", image);
    waitKey(0);
    return 0;
}

将生成的图片扩大，能够看到运用 LINE_4、LINE_8、LINE_AA 画出来的线段作用是不同的。运用 LINE_AA 作用看上去是最好的，其次是 LINE_8。

通过邻接能够引申许多概念，邻接 -> 通路 -> 连通 -> 连通集 -> 区域/邻接区域 -> 远景和背景 -> 鸿沟

5. 间隔

关于像素 p(x,y)、q(s,t) 和 z(u,v)，假如满足：

• 非负性：D(p,q) ≥ 0

• 同一性：D(p,q)=0，当且仅当p=q时

• 对称性：D(p,q) = D(q,p)

• 直递性：D(p,z) ≤ D(p,q) + D(q,z)

则称 D 是间隔的衡量函数。

在欧几里得空间中，点(x1,x2,…,xn)(x_1,x_2,…,x_n)(x1​,x2​,…,xn​)和点(y1,y2,…,yn)(y_1,y_2,…,y_n)(y1​,y2​,…,yn​)之间的闵可夫斯基间隔：

D(x,y)=(∑i=1n∣xi−yi∣p)1/pD(x,y)=(sum_{i=1}^{n}|x_i – y_i|^p)^{1/p}D(x,y)=(∑i=1n​∣xi​−yi​∣p)1/p

• 曼哈顿间隔

当 p = 1 时，即为曼哈顿间隔或城市间隔、街区间隔，是指两个向量之间的间隔，在核算间隔时不触及对角线移动。像素 p(x,y) 和 q(s,t) 之间的间隔公式：

D4(p,q)=∣x−s∣+∣y−t∣D_4(p,q)=|x-s|+|y-t|D4​(p,q)=∣x−s∣+∣y−t∣

表明从像素 p 向像素 q 动身，每次能走的点必须是在当时像素点的 4 邻域中。一步一步走到 q 点后，总共通过的像素点数便是曼哈顿间隔。

• 欧式间隔

当 p = 2 时，即为欧式间隔，便是直角坐标系的间隔。像素 p(x,y) 和 q(s,t) 之间的间隔公式：

De(p,q)=(x−s)2+(y−t)2D_e(p,q)=sqrt{(x-s)^2+(y-t)^2}De​(p,q)=(x−s)2+(y−t)2​

• 切比雪夫间隔

当 p = $\infty$ 时，即为切比雪夫间隔或棋盘间隔，像素 p(x,y) 和 q(s,t) 之间的间隔公式：

D8(x,y)=max(∣x−s∣,∣y−t∣)D_8(x,y)=max(|x-s|,|y-t|)D8​(x,y)=max(∣x−s∣,∣y−t∣)

表明从像素 p 向像素 q 动身，每次能走的点必须是在当时像素点的 8 邻域中。一步一步走到 q 点后，总共通过的像素点数便是切比雪夫间隔。

6. 总结

本文触及到许多概念，这些概念代表着像素间的根本联系。像邻域、连通在后续文章中许多都会触及到，像间隔又跟类似度有关，所以它们是数字图画的基础。