1. 图画的卷积

1.1 卷积

卷积是一种数学运算，它将两个函数（或矩阵）结合起来，生成一个第三个函数。在图画处理中，卷积一般用于将一个滤波器与图画进行运算。

图画的滤波器是一种用于增强或按捺图画中特定特征的工具。它一般是一个小矩阵，定义了怎么对图画中的像素进行操作。

卷积在图画处理中有许多应用，包含图画滑润、图画锐化、边际检测和图画切割。

1.2 卷积的原理

在泛函分析中，卷积（convolution），或译为叠积、褶积或旋积，是透过两个函数 f 和 g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数 f 与经过翻转和平移的 g 的乘积函数所围成的曲边梯形的面积。

卷积可分为一维卷积、二维卷积、三维卷积和多维卷积等。

1.2.1 一维卷积

一维卷积在数学上的定义: f 和 g 是实数 R 上的两个可积函数，咱们称（f*g)(n) 为 f、g 的卷积。

其连续的定义为：

$int_{-infty}^{infty} f(tau)g(n-tau)dtau$

其离散的定义为：

$sum_{tau=-infty}^{infty}f(tau)g(n-tau)$

1.2.2 二维卷积

在图画处理中，咱们常用的是二维卷积。其原理是将一个称为卷积核(滤波器)的矩阵与图画进行滑动运算，然后得到一个新的图画。

滑动运算是指将卷积核在图画上逐一像素移动，并对每个方位进行卷积操作。

在图画的二维卷积中，如果把图画矩阵简写为 I 把卷积核 Kernal 简写为 K，则目标图画的第 (i,j) 个像素的卷积值为：

$sum_{m}displaystyle sum_{n} I(m,n)K(i-m,j-n)$

其间，I 是一个二维矩阵，K 是一个大小为 mxn 的卷积核。基于卷积的可交换性，能够把上述公式改成：

$sum_{m}displaystyle sum_{n} I(i-m,j-n)K(m,n)$

与之类似的还有互相关函数(corresponding function):

$sum_{m}displaystyle sum_{n} I(i+m,j+n)K(m,n)$

它在许多图画处理库和深度学习库中，经常会用到。

上图实质上是二维单通道的卷积，关于二维多通道的卷积如下图所示，将每个卷积核应用到每一个通道上。

然后将每个通道处理后的每个加在一起以形成单个输出通道。

1.2.3 三维卷积

三维卷积是卷积在三维空间上的推行。它将一个三维的滤波器与一个三维的输入数据进行卷积运算，得到一个三维的输出数据，以提取三维数据中的特征。主流的深度学习结构，都供给了三维卷积的完成。

1.3 卷积的性质

卷积具有交换律、结合律、分配律，以二维卷积为例它具有以下的性质：

交换律：f(x, y) * g(x, y) = g(x, y) * f(x, y)
结合律：(f(x, y) * g(x, y))* h(x, y) = f(x, y) * (g(x, y) * h(x, y))
分配律：f(x, y) * (g(x, y) + h(x, y)) = f(x, y) * g(x, y) + f(x, y) * h(x, y)

2. 图画滤波

2.1 图画滤波

图画滤波是一种图画处理技能，用于增强或按捺图画中的特定特征，它能够看作是卷积的一种特殊情况。图画滤波能够用图画卷积来完成，但是图画卷积不一定是图画滤波。

在 OpenCV 中，供给了丰富的图画滤波函数，能够满足各种图画处理需求。常用图画滤波函数包含：

均值滤波: blur()、boxFilter()
高斯滤波: GaussianBlur()
中值滤波: medianBlur()
双方滤波: bilateralFilter()
非线性滤波: fastNlMeansDenoising()
边际检测滤波: Sobel()、Scharr()、Laplacian()
形态学滤波: erode()、dilate()、morphologyEx()
频域滤波: dft()、idft()

下面的例子，别离展现了原图经过均值滤波、高斯滤波、中值滤波和双方滤波之后的作用图。特别是双方滤波，对原图中的美人进行了美颜和磨皮。

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core.hpp>
#include <opencv2/highgui.hpp>
#include <opencv2/imgproc.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
    Mat src = imread(".../girl.jpg");
    // 均值滤波
    Mat blurred_image;
    blur(src, blurred_image, Size(15, 15));
    // 高斯滤波
    Mat gaussian_blurred_image;
    GaussianBlur(src,gaussian_blurred_image, Size(15, 15), 0);
    // 中值滤波
    Mat median_blurred_image;
    medianBlur(src, median_blurred_image,15);
    // 双方滤波
    Mat bilateral_filtered_image;
    bilateralFilter(src, bilateral_filtered_image,15, 80, 80);
    imshow("Original Image", src);
    imshow("Blurred Image", blurred_image);
    imshow("Gaussian Blurred Image", gaussian_blurred_image);
    imshow("Median Blurred Image", median_blurred_image);
    imshow("Bilateral Filtered Image", bilateral_filtered_image);
    waitKey(0);
    return 0;
}

OpenCV 还供给了自定义的滤波器 filter2D() 函数，在该系列的第九篇文章中，从前介绍过 filter2D() 函数。

下面的例子，展现了运用 filter2D() 函数对图画进行模糊和锐化。

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core.hpp>
#include <opencv2/highgui.hpp>
#include <opencv2/imgproc.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
    Mat src = imread(".../girl.jpg");
    imshow("src", src);
    Mat blurred_image,sharpen_image;
    Mat kernel1 = Mat::ones(5, 5, CV_32F) / (float)(25);
    Mat kernel2 = (Mat_<char>(3, 3) << 0, -1, 0, -1, 5, -1, 0, -1, 0);
    filter2D(src, blurred_image, -1, kernel1);
    filter2D(src, sharpen_image, -1, kernel2);
    imshow("Blurred Image", blurred_image);
    imshow("Sharpen Image", sharpen_image);
    waitKey(0);
    return 0;
}

下面简单解释一下 filter2D() 函数：

void filter2D( InputArray src, OutputArray dst, int ddepth,
                            InputArray kernel, Point anchor = Point(-1,-1),
                            double delta = 0, int borderType = BORDER_DEFAULT );

第三个参数 ddepth: 输出图画的深度。当 ddepth 输入值为 -1 时，目标图画和原图画深度坚持一致。

第四个参数 kernel: 卷积核。

第五个参数 anchor: 卷积核的锚点。

第六个参数 delta: 卷积结果与原图画相加的值。

第七个参数 borderType: 鸿沟处理方法。

2.2 图画滤波的分类

依据滤波器在图画域和频域的操作方法，图画滤波能够分为空间域滤波和频域滤波。

2.2.1 空间域滤波

空间域滤波直接对图画中的像素进行操作，依据滤波器与图画像素之间的空间联系来计算输出像素的值。空间域滤波的计算量一般较小，但滤波作用往往比较局限。

空间域滤波按滤波器的线性特性又可分为：

线性滤波：滤波器输出与输入之间呈线性联系。

常用的线性滤波器包含：

a 均值滤波：用于去除图画噪声，具有滑润图画的作用。

b 高斯滤波：具有滑润图画和边际坚持的作用。

c 中值滤波：具有去除椒盐噪声和坚持边际细节的作用。

d 拉普拉斯滤波：用于边际检测。
非线性滤波：滤波器输出与输入之间不呈线性联系。

常用的非线性滤波器包含：

a 中值滤波：用于去除椒盐噪声和坚持边际细节。

b 双方滤波：具有滑润图画和坚持边际细节的作用。

c 自适应滤波：依据图画部分特性进行滤波，具有较好的滤波作用。

2.2.2 频域滤波

频域滤波是将图画傅里叶变换到频域，然后对频谱进行滤波，最后再将频谱逆傅里叶变换回空间域得到滤波后的图画。频域滤波的计算量一般较大，但滤波作用往往比较灵活。

频域滤波按滤波器的作用方法又可分为：

低通滤波：滤除图画中的高频成分，具有滑润图画的作用。
高通滤波：滤除图画中的低频成分，具有锐化图画的作用。
带通滤波：滤除图画中的特定频段成分，具有增强图画纹理的作用。

3. 总结

图画卷积和图画滤波是图画处理中两个密切相关的概念。它们都涉及到运用滤波器对图画进行操作，以取得新的图画。

图画卷积是图画滤波的基础，图画滤波能够经过图画卷积来完成，但图画滤波也能够运用其他方法来完成。

图画卷积和图画滤波具有广泛的应用，经过运用不同的滤波器，能够完成各种图画处理作用。

OpenCV 笔记(27)：图像的卷积与滤波

1. 图画的卷积

1.1 卷积

1.2 卷积的原理

1.2.1 一维卷积

1.2.2 二维卷积

1.2.3 三维卷积

1.3 卷积的性质

2. 图画滤波

2.1 图画滤波

2.2 图画滤波的分类

2.2.1 空间域滤波

2.2.2 频域滤波

3. 总结

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OpenCV 笔记(27)：图像的卷积与滤波

1. 图画的卷积

1.1 卷积

1.2 卷积的原理

1.2.1 一维卷积

1.2.2 二维卷积

1.2.3 三维卷积

1.3 卷积的性质

2. 图画滤波

2.1 图画滤波

2.2 图画滤波的分类

2.2.1 空间域滤波

2.2.2 频域滤波

3. 总结

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