AcWing 798. 差分矩阵
标题描述
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包括五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其间 (x1,y1) 和 (x2,y2)表明一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完一切操作后的矩阵输出。
输入格局
榜首行包括整数 n,m,q,。
接下来 n 行，每行包括 m 个整数，表明整数矩阵。
接下来 q 行，每行包括 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表明一个操作。
输出格局
共 n 行，每行 m 个整数，表明一切操作进行结束后的终究矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
思路
差分矩阵的原理
假设有一个二维矩阵 mat，你需要对这个矩阵的某个子矩阵区域多次进行添加操作。直接更新会导致每次操作的时刻复杂度和该子矩阵的巨细成正比，当操作次数和矩阵巨细都很大时，直接更新效率低下。
这时可以运用差分矩阵 diff 来优化。差分矩阵同样是二维的，其巨细与原矩阵 mat 相同。差分矩阵的主要思想是记录变化（增量），而非直接改动矩阵 mat 的值。对差分矩阵的操作终究将被应用回原矩阵以反映一切的更新。
如何操作差分矩阵
-
初始化：
- 差分矩阵
diff初始化时，一切值都为 0。
- 差分矩阵
-
执行更新：
- 假设你要将子矩阵
(x1, y1)到(x2, y2)中的一切元素添加值v。 - 更新
diff[x1][y1]添加v表明从(x1, y1)开端，整个矩阵的元素都添加v。 - 更新
diff[x1][y2 1]削减v表明从(x1, y2 1)开端，右侧矩阵列元素康复原值。 - 更新
diff[x2 1][y1]削减v表明从(x2 1, y1)开端，下方矩阵行元素康复原值。 - 更新
diff[x2 1][y2 1]添加v表明从(x2 1, y2 1)开端，右下角的堆叠部分再次添加v，从而批改过度削减的部分。
- 假设你要将子矩阵
-
构建终究矩阵：
- 经过累加
diff矩阵的前缀和来构建终究矩阵mat。这是经过对每一行和每一列别离累加来完成的，保证每个mat[i][j]反映了一切相关的diff更新。
- 经过累加
C
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int arr[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
arr[x1][y1] = c;
arr[x2 1][y1] -= c;
arr[x1][y2 1] -= c;
arr[x2 1][y2 1] = c;
}
int main() {
int n, m, q, tmp;
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
for (int i = 1; i <= n; i ) {
for (int j = 1; j <= m; j ) {
scanf("%d", &tmp);
insert(i, j, i, j, tmp);
}
}
while (q--) {
int x1, y1, x2, y2, c;
scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
insert(x1, y1, x2, y2, c);
}
for (int i = 1; i <= n; i ) {
for (int j = 1; j <= m; j ) {
arr[i][j] = arr[i][j - 1] arr[i - 1][j] - arr[i - 1][j - 1];
printf("%d ", arr[i][j]);
}
printf("n");
}
return 0;
}
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
b[x1][y1] = c;
b[x2 1][y1] -= c;
b[x1][y2 1] -= c;
b[x2 1][y2 1] = c;
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
for (int i = 1; i <= n; i )
for (int j = 1; j <= m; j )
scanf("%d", &a[i][j]);
for (int i = 1; i <= n; i )
for (int j = 1; j <= m; j )
insert(i, j, i, j, a[i][j]);
while (q--) {
int x1, y1, x2, y2, c;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
insert(x1, y1, x2, y2, c);
}
for (int i = 1; i <= n; i )
for (int j = 1; j <= m; j )
b[i][j] = b[i - 1][j] b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
for (int i = 1; i <= n; i ) {
for (int j = 1; j <= m; j ) printf("%d ", b[i][j]);
puts("");
}
return 0;
}
Go
package main
import (
"bufio"
"fmt"
"os"
)
func insert(arr [][]int, x1, y1, x2, y2, c int) {
arr[x1][y1] = c
arr[x1][y2 1] -= c
arr[x2 1][y1] -= c
arr[x2 1][y2 1] = c
}
func main() {
var n, m, q, tmp int
reader := bufio.NewReader(os.Stdin)
fmt.Fscan(reader, &n, &m, &q)
arr := make([][]int, n 2)
for i := 0; i <= n 1; i {
arr[i] = make([]int, m 2)
}
for i := 1; i <= n; i {
for j := 1; j <= m; j {
fmt.Fscan(reader, &tmp)
insert(arr, i, j, i, j, tmp)
}
}
for i := 1; i <= q; i {
var x1, y1, x2, y2, c int
fmt.Fscan(reader, &x1, &y1, &x2, &y2, &c)
insert(arr, x1, y1, x2, y2, c)
}
writer := bufio.NewWriter(os.Stdout)
defer writer.Flush()
for i := 1; i <= n; i {
for j := 1; j <= m; j {
arr[i][j] = arr[i][j-1] arr[i-1][j] - arr[i-1][j-1]
fmt.Fprint(writer, arr[i][j], " ")
}
fmt.Fprintln(writer)
}
}
模板
处以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的一切元素加上c：
S[x1, y1] = c, S[x2 1, y1] -= c, S[x1, y2 1] -= c, S[x2 1, y2 1] = c
