【线性代数基础进阶】特征值和特征向量-六虎

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特征值、特征向量

定义：设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $\alpha$ 是 $n$ 维非 $0$ 列向量，且

$\alpha=\lambda \alpha$

则称 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 是矩阵 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量

由 $\alpha=\lambda \alpha,\alpha\ne0\Rightarrow (\lambda E-A)\alpha=0,(\lambda E-A)x=0\Rightarrow \alpha$ 是齐次方程组 $(E−A)x=0(\lambda E-A)x=0$ 的非 $0$ 解

由 $∣E−A∣=0|\lambda E-A|=0$ 求特征值 $i\lambda_{i}$ ，共 $n$ 个（含重根）
对 $(iE−A)x=0(\lambda_{i}E-A)x=0$ ，求根底解系，即特征值 $i\lambda_{i}$ 的线性无关的特征向量，写通解得 $i\lambda_{i}$ 一切的特征向量

定理：如果 $1,2\alpha_{1},\alpha_{2}$ 都是矩阵 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则当 $k11+k22≠0k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}\ne0$ 时， $k11+k22k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}$ 仍是矩阵 $A$ 关于特征值 $\lambda$ 的特征向量

定理：如果 $1\lambda_{1}$ 与 $2\lambda_{2}$ 是 $A$ 不同的特征值，对应的特征向量分别是 $1\alpha_{1}$ 和 $2\alpha_{2}$ ，则 $1,2\alpha_{1},\alpha_{2}$ 必定线性无关

定理：设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，特征值是 $,n\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$ ，则有

$∑i=∑aii\sum\limits \lambda_{i}=\sum\limits a_{ii}$
$∣A∣=∏i|A|=\prod \lambda_{i}$

例：求 $A=(17−2−2−214−4−2−414)A=\begin{pmatrix}17 & -2 & -2 \\ -2 & 14 & -4 \\ -2 & -4 & 14\end{pmatrix}$ 特征值，特征向量

三阶队伍式主对角线元素都含有未知数，直接打开要解三次方程，一般考虑通过队伍加减，找出某一行或某一列一切的元素都含有含未知数的公因式或 $0$

由 $A$ 的特征多项式

∣E−A∣=∣−17222−14424−14∣=∣−17222−144018−−18∣=∣−17422−10400−18∣=(−18)∣−1742−10∣=(−18)(2−27+162)=(−18)2(−9)\begin{aligned} |\lambda E-A|&=\begin{vmatrix} \lambda-17 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda-14 & 4 \\ 2 & 4 & \lambda-14 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda-17&2&2\\2&\lambda-14&4\\0&18-\lambda&\lambda-18 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \lambda-17&4&2\\2&\lambda-10&4\\0&0&\lambda-18 \end{vmatrix}=(\lambda-18)\begin{vmatrix} \lambda-17&4\\2&\lambda-10 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-18)(\lambda^{2}-27\lambda+162)=(\lambda-18)^{2}(\lambda-9) \end{aligned}

因而 $1=2=18,3=9\lambda_{1}=\lambda_{2}=18,\lambda_{3}=9$

当 $=18\lambda=18$ 时， $(18 E - A) x = 0$

(122244244)→(122000000)\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 4 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

得根底解系： $1=(−2,1,0)T,2=(−2,0,1)T\alpha_{1}=(-2,1,0)^{T},\alpha_{2}=(-2,0,1)^{T}$ ，因而特征向量 $k11+k22,k1,k2k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2},k_{1},k_{2}$ 不一起为 $0$

当 $=9\lambda=9$ 时， $(9 E - A) x = 0$

(−8222−5424−5)→(20−101−1000)\begin{pmatrix} -8 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & 4 \\ 2 & 4 & -5 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

得根底解系 $3=(1,2,2)T\alpha_{3}=(1,2,2)^{T}$ ，因而特征向量 $k33,k3≠0k_{3}\alpha_{3},k_{3}\ne0$

关于一个矩阵若，秩等于 $1$ 即存在一行能表明其他一切行，秩等于 $2$ 即存在两行能表明其他一切行，之后同理，类似最大线性无关组

$(−8222−5424−5)\begin{pmatrix}-8 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & 4 \\ 2 & 4 & -5\end{pmatrix}$ 求根底解系，本题题解省略的化简步骤，其实化简步骤并不容易，但此处能够用其他思路。

因为已知 $∣E−A∣=0|\lambda E-A|=0$ ，即该矩阵的秩一定小于 $3$ ；随意选两行，这里选二三行，发现二者线性无关（不成比例），因而该矩阵秩大于 $1$ ，可得该矩阵秩为 $2$ 。

因为这两行能线性表明另一行，因而能够结构新的矩阵

$(2−5424−5000)\begin{pmatrix}2 & -5 & 4 \\ 2 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

能够理解为因为这两行能线性表明另一行，因而另一行一定能被全消为 $0$

此时只需对新的矩阵行化简即可

设 $\alpha=\lambda \alpha,\alpha\ne0$ ，则有

$(A+kE)=(+k)(A+kE)\alpha=(\lambda+k)\alpha$
$An=nA^{n}\alpha=\lambda^{n}\alpha$

例： $A$ 为 $3$ 阶矩阵，特征值是 $- 1, 0, 4$ ，如果 $A + B = 2 E$ ，则 $B$ 的特征值为（）

设 $\alpha=\lambda \alpha,\alpha\ne0$

由 $A + B = 2 E$ ，有 $B = 2 E - A$ ，则

\alpha=(2E-A)\alpha=2\alpha-A \alpha=(2-\lambda)\alpha

因而 $B$ 的特征值为 $3, 2, - 2$

例： $A$ 是 $3$ 阶矩阵， $A^{2}+2A-3E=0$ ，证明矩阵 $A$ 的特征值只能是 $1$ 或 $- 3$

设 $\lambda$ 是 $A$ 的任一特征值，对应的特征向量是 $\alpha$ ，即 $\alpha=\lambda \alpha,\alpha\ne0$ ，那么

A2=2A^{2}\alpha=\lambda^{2} \alpha

由 $A^{2}+2A-3E=0$

有

A2+2A−3=0(2+2−3)=0,≠02+2−3=0\begin{aligned} A^{2}\alpha+2A \alpha-3\alpha&=0\\ (\lambda^{2}+2\lambda-3)\alpha&=0,\alpha\ne0\\ \lambda^{2}+2\lambda-3&=0 \end{aligned}

因而 $=1\lambda=1$ 或 $=−3\lambda=-3$

从标题条件只能推出矩阵特征值只能是 $1$ 或 $- 3$

例如： $(111),(333),(1000−1−20−2−1)\begin{pmatrix}1 & & \\ & 1 & \\ & & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3 & & \\ & 3 & \\ & & 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -1\end{pmatrix}$

例：已知 $=(1,1,−1)T\alpha=(1,1,-1)^{T}$ 是 $A=(2−125a3−1b−2)A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{pmatrix}$ 的一个特征向量，则 $a = (), b = ()$

设 $\alpha=\lambda \alpha,\alpha\ne0$

(2−125a3−1b−2)(11−1)=(11−1)\begin{pmatrix}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

有

{2−1−2=5+a−3=−1+b+2=−\begin{cases} 2-1-2=\lambda \\ 5+a-3=\lambda \\ -1+b+2=-\lambda \end{cases}

可得 $=−1,a=−3,b=0\lambda=-1,a=-3,b=0$

类似矩阵

设 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 $P$ 使

P^{-1}AP=B

就称矩阵 $A$ 类似与矩阵 $B$ ， $B$ 是 $A$ 的类似矩阵，记作 $A∼BA\sim B$

类似的根本性质

$A∼AA\sim A$
如果 $A∼BA\sim B$ ，则 $B∼AB\sim A$
如果 $A∼B,B∼CA\sim B,B\sim C$ ，则 $A∼CA\sim C$

如果 $A∼BA\sim B$

$∣E−A∣=∣E−B∣⇒A=B|\lambda E-A|=|\lambda E-B|\Rightarrow \lambda_{A}=\lambda_{B}$

证明：
$∣E−B∣=∣E−P−1AP∣=∣P−1(E−A)P∣=∣P−1∣∣E−A∣∣P∣=∣E−A∣\begin{aligned} |\lambda E-B|&=|\lambda E-P^{-1}AP|\\&=|P^{-1}(\lambda E-A)P|\\&=|P^{-1}||\lambda E-A||P|\\&=|\lambda E-A| \end{aligned}$
$r (A) = r (B)$

证明：

如果 $A$ 可逆，有 $r (A B) = r (B), r (B A) = r (B)$ ，则
$r(B)=r(P−1AP)=r(AP)=r(A)\begin{aligned} r(B)=r(P^{-1}AP)=r(AP)=r(A) \end{aligned}$
$∣ A ∣ = ∣ B ∣$
$B|=|P^{-1}AP|=|P^{-1}||A||P|=|A|$
$∑aii=∑bii\sum\limits a_{ii}=\sum\limits b_{ii}$
$An∼BnA^{n}\sim B^{n}$

$A+kE∼B+kEA+kE\sim B+kE$

$A−1∼B−1A^{-1}\sim B^{-1}$

类似对角化

如果 $A∼A\sim \Lambda$ ，则称矩阵 $A$ 可类似对角化

定理： $A∼⇔AA\sim \Lambda\Leftrightarrow A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量

证明：

如果 $\alpha_{1}=\lambda_{1}\alpha_{1},A \alpha_{2}=\lambda_{2}\alpha_{2},A \alpha_{3}=\lambda_{3}\alpha_{3}$ ，且 $1,2,3\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性无关，则

A(1,2,3)=(A1,A2,A3)=(11,22,33)=(1,2,3)(123)\begin{aligned} A(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})&=(A \alpha_{1},A \alpha_{2},A \alpha_{3})\\ &=(\lambda_{1}\alpha_{1},\lambda_{2}\alpha_{2},\lambda_{3}\alpha_{3})\\ &=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ & \lambda_{2} & \\ & & \lambda_{3} \end{pmatrix} \end{aligned}

令 $P=(1,2,3)P=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$ ，因为 $1,2,3\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性无关，则 $P$ 可逆，有

AP=PP−1AP==(123)\begin{aligned} AP&=P \Lambda\\ P^{-1}AP&=\Lambda=\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ & \lambda_{2} & \\ & & \lambda_{3} \end{pmatrix} \end{aligned}

必要性得证

如果 $P−1AP=P^{-1}AP=\Lambda$ ，有

AP=PA(1,2,3)=(1,2,3)(a1a2a3)=(a11,a22,a33)(A1,A2,A3)=(a11,a22,a33)\begin{aligned} AP&=P \Lambda\\ A(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})&=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})\begin{pmatrix} a_{1} & & \\ & a_{2} & \\ & & a_{3} \end{pmatrix}\\ &=(a_{1}\alpha_{1},a_{2}\alpha_{2},a_{3}\alpha_{3})\\ (A \alpha_{1},A \alpha_{2},A \alpha_{3})&=(a_{1}\alpha_{1},a_{2}\alpha_{2},a_{3}\alpha_{3}) \end{aligned}

因而有

\alpha_{1}=a_{1}\alpha_{1},A \alpha_{2}=a_{2}\alpha_{2},A \alpha_{3}=a_{3}\alpha_{3}

又因为 $P=(1,2,3)P=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$ 可逆，则 $1,2,3\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性无关，充分性得证、

推论：如果 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $A∼A\sim \Lambda$

定理： $A∼⇔A\sim \Lambda\Leftrightarrow \lambda$ 是 $A$ 的 $k$ 重特征值，则 $\lambda$ 有 $k$ 个线性无关的特征向量

类似对角化解题步骤：

求特征值 $1,2,3\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$
求特征向量 $1,2,3\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$
结构可逆矩阵 $P=(1,2,3)P=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$ ，则 $P−1AP=(123)P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda_{1} & & \\ & \lambda_{2} & \\ & & \lambda_{3}\end{pmatrix}$

例：已知 $A=(001010100)A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ ，求可逆矩阵 $P$ ，使 $P−1AP=P^{-1}AP=\Lambda$

由特征多项式

∣E−A∣=∣0−10−10−10∣=(−1)2(+1)|\lambda E-A|=\begin{vmatrix} \lambda & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda \end{vmatrix}=(\lambda-1)^{2}(\lambda+1)

则 $A$ 的特征值 $1, 1, - 1$

当 $=1\lambda=1$ 时，由 $(E - A) x = 0$

(10−1000−101)→(10−1000000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

特征向量 $1=(0,1,0)T,2=(1,0,1)T\alpha_{1}=(0,1,0)^{T},\alpha_{2}=(1,0,1)^{T}$

当 $=−1\lambda=-1$ 时，由 $(- E - A) x = 0$

(−10−10−20−10−1)→(101010000)\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

特征向量 $3=(−1,0,1)T\alpha_{3}=(-1,0,1)^{T}$

令

P=(1,2,3)=(01−1100011)P=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

有

P−1AP=(11−1)P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & -1 \end{pmatrix}

例：已知 $A=(20000101x),B=(2000y000−1)A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$ 类似

求 $x, y$
求可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP=B$

因为 $A∼BA\sim B$ ，有

∑aii=∑bii⇒2+0+x=2+y+(−1)(1)∣A∣=∣B∣⇒−2=−2y(2)∣E−A∣=∣E−B∣⇒∣−2000−10−1−x∣=∣−2000−y000+1∣⇒(−2)(2−x−1)=(−2)[2+(1−y)−y]⇒{−x=1−y−1=−y(3)\begin{aligned} \sum\limits a_{ii}=\sum\limits b_{ii}&\Rightarrow 2+0+x=2+y+(-1)\quad\text{(1)}\\ |A|=|B|&\Rightarrow -2=-2y\quad\text{(2)}\\ |\lambda E-A|=|\lambda E-B|&\Rightarrow \begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ 0 & -1 & \lambda-x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-y & 0 \\ 0 & 0 & \lambda+1 \end{vmatrix}\tag{3}\\ &\Rightarrow (\lambda-2)(\lambda^{2}-x \lambda-1)=(\lambda-2)[\lambda^{2}+(1-y)\lambda-y]\\ &\Rightarrow \begin{cases} -x=1-y \\ -1=-y \end{cases} \end{aligned}

能够选 $(1), (2)$ 或独自选 $(3)$ ，一般选 $(1), (2)$ ，计算较简单

或

$B$ 的特征值 $2, y, - 1$ ，则 $=−1\lambda=-1$ 是 $A$ 的特征值，有

\begin{vmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\0 & -1 & -1-x \end{vmatrix}=-3\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1-x \end{vmatrix}=-3x=0

若用 $=2\lambda=2$ ，有

∣2E−A∣=∣00002−10−12−x∣=0|2E-A|=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2-x \end{vmatrix}=0

若用 $=y\lambda=y$ ，有

∣yE−A∣=∣y−2000y−10−1y−x∣=(y−2)(y2−xy−1)=0|yE-A|=\begin{vmatrix} y-2 & 0 & 0 \\ 0 & y & -1 \\ 0 & -1 & y-x \end{vmatrix}=(y-2)(y^{2}-xy-1)=0

该式需求结合上面的 $(1), (2), (3)$ 运用，或许选择两个不相关的运用，例如 $=0,=y\lambda=0,\lambda=y$ 搭配

该办法当呈现本题 $=2\lambda=2$ 时 $∣ 2 E - A ∣$ 自身有一行就为 $0$ 或两行成比例，则需求换 $\lambda$ 或用 $(1), (2), (3)$ 办法

解得 $x = 0, y = 1$ ，代入题设有

A=(200001010)∼(21−1)=BA=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 2 & & \\ & 1 & \\ & & -1 \end{pmatrix}=B

此处省略步骤，可得

P=(10001101−1)P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}

实对称矩阵

向量的内积

定义：设 $,bn)T\alpha=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})^{T},\beta=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})^{T}$ ，有

(,)=a1b1+a2b2+⋯+anbn=T=T(\alpha,\beta)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}=\alpha^{T}\beta=\beta^{T}\alpha

如果 $(,)=0(\alpha,\beta)=0$ ，称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交

$(,)=a12+a22+⋯+an2(\alpha,\alpha)=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}$ ，称 $a12+a22+⋯+an2\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$ 为向量 $\alpha$ 的长度，记作 $∣∣∣∣||\alpha||$

内积的性质

$(,)=(,)(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$
$\alpha,\beta)=(\alpha,k \beta)=k(\lambda,\beta)$
$(+,)=(,)+(,)(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$
$(,)≥0(\alpha,\alpha)\geq0$ ，等号当且仅当 $=0\alpha=0$ 时建立

例：求与 $1=(−1,−1,1)T,2=(1,2,1)T\alpha_{1}=(-1,-1,1)^{T},\alpha_{2}=(1,2,1)^{T}$ 都正交的向量

设 $=(x1,x2,x3)T\alpha=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}$ 与 $1,2\alpha_{1},\alpha_{2}$ 都正交，则 $T1=0,T2=0\alpha^{T}\alpha_{1}=0,\alpha^{T}\alpha_{2}=0$

{−x1−x2+x3=0x1−2×2−x3=0\begin{cases} -x_{1}-x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}-2x_{2}-x_{3}=0 \end{cases}

有

(−1−111−2−1)→(10−1010)\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

根底解系 $1,0,1)^{T}$ ，因而 $=k(1,0,1)T\alpha=k(1,0,1)^{T}$

正交矩阵

定义： $A$ 是 $n$ 阶矩阵，若 $AA^{T}=A^{T}A=E$ ，则称 $A$ 是正交矩阵

如果 $A$ 是正交矩阵

$⇔AT=A−1\Leftrightarrow A^{T}=A^{-1}$

$⇔A\Leftrightarrow A$ 的列向量都是单位向量且两两正交

如果 $A$ 是正交矩阵 $⇒∣A∣\Rightarrow |A|$ 为 $1$ 或 $- 1$

证明：

AAT=E⇒∣AAT∣=∣E∣∣A∣⋅∣AT∣=1∣A∣2=1\begin{aligned} AA^{T}=E\Rightarrow |AA^{T}|&=|E|\\ |A|\cdot|A^{T}|&=1\\ |A|^{2}&=1 \end{aligned}

因而 $∣ A ∣$ 为 $1$ 或 $- 1$

实对称矩阵

定理：实对称矩阵必可类似对角化

定理：实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交

定理：实对称矩阵必存在正交矩阵 $Q$ ，使 $Q−1AQ=QTAQ=Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$

例： $A$ 为 $3$ 阶实对称矩阵，满意 $A^{2}=A$ ，如果 $r (A - E) = 2$ ，则 $A$ 的特征值（）

设 $\alpha =\lambda \alpha,\alpha \ne 0$ ，则

^{2}\alpha=\lambda ^{2}\alpha

由 $A^{2}=A$ ，有

2=(2−)=0⇒2−=0\begin{aligned} \lambda ^{2}\alpha&=\lambda \alpha\\ (\lambda ^{2}-\lambda )\alpha&=0\\ &\Rightarrow \lambda ^{2}-\lambda =0 \end{aligned}

因而 $\lambda$ 是 $1$ 或 $0$ ，又因为 $A$ 是实对称矩阵， $r (A - E) = 2$ ，有

\sim \Lambda \Rightarrow A-E \sim \Lambda-E \Rightarrow r(\Lambda-E)=2

$\Lambda$ 与 $A$ 类似，即特征值相同，又有 $r(−E)=2r(\Lambda-E)=2$ ，则可结构

=(100)\Lambda=\begin{pmatrix} 1 & & \\ & 0 & \\ & & 0 \end{pmatrix}

因而 $A$ 的特征值为 $1, 0, 0$

求 $Q−1AQ=QTAQ=Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$

求出 $A$ 的特征值 $1,2,3\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$
求出对应的特征向量 $1,2,3\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$
该特征向量为 $1,2,3\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}$

1. 如果特征值不同，只需单位化（实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交）

2. 若特征值有重根

1. 如果特征向量已正交，只需单位化

2. 如果特征向量不正交，需施密特（Schmidt）正交化

结构正交矩阵 $Q=(1,2,3),Q−1AQ==(123)Q=(\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3}),Q^{-1}AQ=\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_{1} & & \\ & \lambda_{2} & \\ & & \lambda_{3}\end{pmatrix}$

例：已知 $A=(1a−1a31−111)A=\begin{pmatrix}1 & a & -1 \\ a & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}$ ，若 $r (A) = 2$ ，求 $a$ ，求正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\Lambda$ ，使 $Q−1AQ=Q^{-1}AQ=\Lambda$

求 $a$ 能够用行改换，这里用秩的定义，即队伍式不为 $0$ 。因为 $A$ 中有二阶子式

∣3111∣≠0\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\ne 0

所以 $\Leftrightarrow |A|=0$

∣1a−1a31−111∣=∣0a−1a+131011∣=−(a+1)2\begin{vmatrix} 1 & a & -1 \\ a & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & a & -1 \\ a+1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}=-(a+1)^{2}

因而 $a = - 1$ ，有

A=(1−1−1−131−111)A=\begin{pmatrix}1 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}

由 $A$ 的特征多项式

∣E−A∣=∣−1111−3−11−1−1∣找除主对角线外对应方位两数字和为0=∣01−3−11−1−1∣=(−1)(−4)\begin{aligned} |\lambda E-A|&=\begin{vmatrix} \lambda-1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-3 & -1 \\ 1 & -1 & \lambda-1 \end{vmatrix}\\ &找除主对角线外对应方位两数字和为0\\ &=\begin{vmatrix} \lambda & 0 & \lambda \\ 1 & \lambda-3 & -1 \\ 1 & -1 & \lambda-1 \end{vmatrix}=\lambda(\lambda-1)(\lambda-4) \end{aligned}

因而 $A$ 的特征值为 $0, 1, 4$

对 $=1\lambda=1$

(E−A)=(0111−2−11−10)→(101011000)⇒1=(−1,−1,1)T(E-A)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\Rightarrow \alpha_{1}=(-1,-1,1)^{T}

对 $=4\lambda=4$

(4E−)=(31111−11−13)→(10101−2000)⇒2=(−1,2,1)T(4E-\lambda)=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\Rightarrow \alpha_{2}=(-1,2,1)^{T}

对 $=0\lambda=0$

(0E−A)=(−1111−3−11−1−1)→(10−1010000)⇒3=(1,0,1)T(0E-A)=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\Rightarrow \alpha_{3}=(1,0,1)^{T}

实对称矩阵，特征值不同，特征向量已经正交，只需单位化

1=13(−1−11),2=16(−121),3=12(101)\gamma _{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix},\gamma _{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix},\gamma _{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

令

Q=(1,2,3)=(−13−1612−13260131612)Q=(\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3})=\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ – \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}

则

Q−1AQ==(140)Q^{-1}AQ=\Lambda=\begin{pmatrix} 1 & & \\ & 4 & \\ & & 0 \end{pmatrix}

【线性代数基础进阶】特征值和特征向量

特征值、特征向量

类似矩阵

类似对角化

类似对角化解题步骤：

实对称矩阵

向量的内积

正交矩阵

实对称矩阵

求Q−1AQ=QTAQ=Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\LambdaQ−1AQ=QTAQ=

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求 $Q−1AQ=QTAQ=Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$